[論文レビュー] A New Approach to Multi-Party Peer-to-Peer Communication Complexity

Adi Rosén, Florent Urrutia|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、自然な多人数ピアツーピア、ナンバーインハンド設定における確率的通信複雑性を分析するための、情報理論的で新しいモデルおよび測度—多人数情報コスト（MIC）—を導入する。n = Ω(k) のとき、k プレイヤーのディスジョイントネス関数とビット単位のパリティ関数に対して、両者ともタイトな Ω(kn) の下界を確立し、この設定で初めて非自明なタイトな下界を達成した。さらに、ディスジョイントネスのプライベート計算におけるランダムネス複雑性に対して Ω(n) の下界を証明した。

ABSTRACT

We introduce new models and new information theoretic measures for the study of communication complexity in the natural peer-to-peer, multi-party, number-in-hand setting. We prove a number of properties of our new models and measures, and then, in order to exemplify their effectiveness, we use them to prove two lower bounds. The more elaborate one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function. The other one is a tight lower bound of $\Omega(kn)$ on the multi-party peer-to-peer randomized communication complexity of the $k$-player, $n$-bit bitwise parity function. Both lower bounds hold when ${n=\Omega(k)}$. The lower bound for Disjointness improves over the lower bound that can be inferred from the result of Braverman et al.~(FOCS 2013), which was proved in the coordinator model and can yield a lower bound of $\Omega(kn/\log k)$ in the peer-to-peer model. To the best of our knowledge, our lower bounds are the first tight (non-trivial)lower bounds on communication complexity in the natural {\em peer-to-peer} multi-party setting. In addition to the above results for communication complexity, we also prove, using the same tools, an $\Omega(n)$ lower bound on the number of random bits necessary for the (information theoretic) private computation of the $k$-player, $n$-bit Disjointness function .

研究の動機と目的

• 自然な多人数ピアツーピア、ナンバーインハンド設定における通信複雑性を分析するための有効なモデルやツールの欠如に対処すること。
• この設定における通信プロトコルの厳密な分析を可能にする、新しい情報理論的フレームワーク—多人数情報コスト（MIC）—を構築すること。
• ピアツーピアモデルにおける、ディスジョイントネスやパリティのような基本的関数の通信複雑性に対するタイトな下界を確立すること。
• この設定におけるディスジョイントネス関数のプライベート計算に必要なランダムビットの最小数を証明し、それが入力サイズに応じて増加することを示すこと。

提案手法

• すべてのプレイヤー対間での明示的なメッセージ渡しを制限するが、適切な同期プロトコルに限定する、非同期的でピアツーピアの通信モデルを提案する。
• 通信複雑性を測定するための新しい情報理論的測度として、多人数情報コスト（MIC）を導入する。
• MIC を分解するために、中間的測度として外部情報コスト（eIC）、内部情報コスト（bIC）、公開情報コスト（PIC）を定義・分析する。
• 情報理論的不等式とチェーン則を用いて、MIC を通信複雑性およびランダムネス複雑性に関連付ける。
• PIC(π) の下界をとることにより、下界を証明するためのフレームワークを適用し、外部計算への還元およびプロトコル変換を活用する。
• 過去のランダムネス複雑性に関する研究手法を、新しい分布的および条件付き独立性解析を加えて、多人数ピアツーピア設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多人数ピアツーピア、ナンバーインハンド設定における通信複雑性を研究するための適切なモデルと情報理論的測度とは何か？
• RQ2 この自然なピアツーピアモデルにおいて、ディスジョイントネスやパリティのような基本的関数に対して、タイトな下界を確立できるか？
• RQ3 この設定において、ディスジョイントネス関数のプライベート計算に必要なランダムビットの最小数は何か？
• RQ4 2 プレイヤー解析において重要な矩形性（rectangularity）特性は、多人数ピアツーピア設定においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿は、n = Ω(k) のとき、k プレイヤーのディスジョイントネス関数 Disjn_k の確率的通信複雑性に対してタイトな Ω(kn) の下界を確立した。
• 同様の条件下で、k プレイヤーのビット単位のパリティ関数 Parn_k の確率的通信複雑性に対しても、タイトな Ω(kn) の下界を証明した。
• これらの下界は、公開情報コスト（PIC）の下界を通じて導出され、それが通信複雑性を下界づける。
• 本稿は、Disjn_k のプライベート計算に Ω(n) のランダムビットが必要であることを証明した。これは、ブール関数に対して入力サイズに応じて増加する初めてのこのような下界である。
• これらの結果は、自然なピアツーピア多人数設定における通信複雑性に対する、初めての非自明なタイトな下界を表している。
• フレームワークは、MIC や関連する情報コスト測度が、分散環境における複雑な通信パターンの分析に有効なツールであることを示している。