[論文レビュー] A New Approximation Guarantee for Monotone Submodular Function Maximization via Discrete Convexity

Tasuku Soma, Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、M♮-凸関数を活用することで、基数制約下における単調なサブモジュラ関数最大化に対する新しい近似保証を導入する。h-曲率を定義し、関数hから逸脱する度合いを測定する。任意のǫ > 0に対して、多項式時間で(1 − γh/e − ǫ)-近似を達成するアルゴリズムを提示しており、h-曲率が小さい場合には古典的な1 − 1/eの境界を著しく上回る。

ABSTRACT

In monotone submodular function maximization, approximation guarantees based on the curvature of the objective function have been extensively studied in the literature. However, the notion of curvature is often pessimistic, and we rarely obtain improved approximation guarantees, even for very simple objective functions. In this paper, we provide a novel approximation guarantee by extracting an M^{natural}-concave function h:2^E -> R_+, a notion in discrete convex analysis, from the objective function f:2^E -> R_+. We introduce a novel notion called the M^{natural}-concave curvature of a given set function f, which measures how much f deviates from an M^{natural}-concave function, and show that we can obtain a (1-gamma/e-epsilon)-approximation to the problem of maximizing f under a cardinality constraint in polynomial time, where gamma is the value of the M^{natural}-concave curvature and epsilon > 0 is an arbitrary constant. Then, we show that we can obtain nontrivial approximation guarantees for various problems by applying the proposed algorithm.

研究の動機と目的

• 理論的近似境界と実際の性能の間のギャップを解消すること。
• 標準的な曲率概念を越えて、実世界の性能をよりよく反映する洗練された近似保証を構築すること。
• M♮-凸関数を用いて「簡単な」サブモジュラ関数のより広いクラスを同定し、その構造を活用してより良い近似を得ること。
• 施設配置問題や重み付きマトロイドランク関数など、多様な問題に適用可能な一般化されたアルゴリズムフレームワークを提供すること。

提案手法

• 単調なサブモジュラ関数fをf = g + hに分解する。ここでgは単調なサブモジュラ関数、hはM♮-凸関数である。
• h-曲率γhを、すべてのX ⊆ Eに対してh(X) ≥ (1 − γ)f(X)を満たす最小のγとして定義する。同値に、γh = max_X g(X)/f(X)と表せる。
• gとhの値オракルを用いて、任意のǫ > 0に対してE[f(X)] ≥ (1 − γh/e − ǫ)f(O)を満たす多項式時間の確率的アルゴリズムを実装する。
• 適切なhとgの分解を構築することで、施設配置問題や重み付きマトロイドランク関数の問題にアルゴリズムを適用する。
• M♮-凸関数は貪欲法により効率的に最大化できることを活用し、h部の効率的最適化を可能にする。
• 理論的境界を確立し、h-曲率γhが常に標準的曲率c以下であり、実際のケースでは著しく小さくなることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的曲率よりも洗練された曲率測度が、単調なサブモジュラ関数最大化におけるより良い近似保証をもたらすか？
• RQ2 M♮-凸関数が、一般の単調サブモジュラ関数をより効果的に分解・近似するための構造的基盤として機能できるか？
• RQ3 提案されたh-曲率フレームワークは、施設配置問題やカバレッジ関数といった実用的問題において、既存の保証を非自明に改善するか？
• RQ4 グリーディアルゴリズムが1 − 1/eより優れた性能を示す実世界のインスタンスにおいて、h-曲率は標準的曲率とどのように比較されるか？
• RQ5 本稿で研究されたクラスを超えて、このフレームワークを他のサブモジュラ関数クラスへ一般化できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、任意のǫ > 0に対して多項式時間で(1 − γh/e − ǫ)-近似を達成する。ここでγhは分解f = g + hのh-曲率である。
• 施設配置問題では、h-曲率γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/(∑ᵢ wᵢ,max)とされ、標準的曲率cよりも厳密に良い保証が得られることを示している。
• 重み付きマトロイドランク関数の和については、γh ≤ c − (∑ᵢ wᵢ,min)/Wᵢを満たし、ここでWᵢはマトロイドiの基底の最大重みである。
• h-曲率γhは常に標準的曲率c以下であり、実際のケースでは著しく小さくなることがあり、理論と実際のギャップを説明できる。
• このフレームワークは、(重み付き)マトロイドランク関数やラミナーモジュラ関数など、モジュラーから大きく離れた非モジュラー関数にも適用可能であり、効率的な近似が可能である。
• Sviridenko, Vondrák, および Wardの先行研究を改善し、関数の曲率だけでなく構造的分解に依存するよりタイトな近似保証を提供している。