[論文レビュー] A new class of non-identifiable skew symmetric tensors

Davide Vanzo, Alessandra Bernardi|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Grassmannian $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$ の一般要素が、5つの分解可能な歪対称テンソルの和としてちょうど2通りの分解を持つことを確立しており、$n < 14$ の場合において、非退化なセカント多様体のうちで唯一の非一意的ケースである。この結果は代数幾何学的手法、特に接触集合および接線的弱退化多様体を用いて得られ、量子もつれの観点から3つの同一フェルミオンのもつれに物理的解釈が与えられる。

ABSTRACT

We prove that the generic element of the fifth secant variety $σ_5(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^9)) \subset \mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^{10})$ of the Grassmannian of planes of $\mathbb{P}^9$ has exactly two decompositions as a sum of five projective classes of decomposable skew-symmetric tensors. {We show that this, {together with $Gr(\mathbb{P}^3, \mathbb{P}^8)$, is the only non-identifiable case} among the non-defective secant varieties $σ_s(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ for any $n&lt;14$. In the same range for $n$, we classify all the weakly defective and all tangentially weakly defective secant varieties of any Grassmannians.} We also show that the dual variety $(σ_3(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7)))^{\vee}$ of the variety of 3-secant planes of the Grassmannian of $\mathbb{P}^2\subset \mathbb{P}^7$ is $σ_2(Gr(\mathbb{P}^2,\mathbb{P}^7))$ the variety of bi-secant lines of the same Grassmannian. The proof of this last fact has a very interesting physical interpretation in terms of measurement of the entanglement of a system of 3 identical fermions, the state of each of them belonging to a 8-th dimensional "Hilbert" space.

研究の動機と目的

• n < 14 の場合における Grassmannians $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$ の非一意的セカント多様体を分類すること。特に非退化ケースに注目する。
• セカント多様体 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ の一般要素が、分解可能な歪対称テンソルの和として一意的または複数の分解を持つ条件を特定すること。
• 同じ範囲における Grassmannians のセカント多様体の弱退化および接線的弱退化多様体を特徴づけること。
• 幾何学的・物理的双対性を確立し、$ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ と $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)) $ の関係を示し、量子もつれに与える意味を明らかにすること。

提案手法

• セカント多様体の次元を計算し、退化性を特定するために Terracini の補題を応用する。
• Macaulay2 を用いて接触集合および接線的接触集合を計算し、一意性および弱退化性を分析する。
• 一般テンソルの分解数を測る指標として、$r$-次セカント次数を用いる。
• 正の次元を有する $r$-接線的接触集合が存在することにより、非一意的ケースを同定する。
• $SL(8)$ の作用における $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 内の軌道閉包の幾何的解析を行い、量子もつれクラスと関連付ける。
• Plücker埋め込みを用いて Grassmannians を射影空間の部分多様体として実現し、セカント多様体の研究を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n < 14 である Grassmannian $Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n)$ の非退化セカント多様体の中で、非一意的であるものはあるか？
• RQ2 $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)$ における $r=5$ の $5$-接線的接触集合の次元は何か？ そしてそれは一意性とどのように関係するか？
• RQ3 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$ が $n < 14$ の非退化セカント多様体のうちで唯一の非一意的ケースである理由は何か？
• RQ4 $ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ と $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ の関係は何か？
• RQ5 $\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 内の軌道閉包の包含図式は、3つの同一フェルミオンのもつれに関して、物理的解釈としてどのように解釈されるか？

主な発見

• 一般要素 $\sigma_5(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9))$ は、5つの分解可能な歪対称テンソルの和としてちょうど2通りの分解を持つため、非一意的である。
• これは $n < 14$ の非退化セカント多様体 $\sigma_r(Gr(\mathbb{P}^k, \mathbb{P}^n))$ の中で唯一の非一意的ケースであり、$\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ を除く。
• $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^9)$ の $5$-接線的接触集合の次元は $1$ であり、これにより非一意性が確認された。
• 双対多様体 $ (\sigma_3(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)))^\vee $ は $\sigma_2(Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7))$ に等しく、幾何的双対性が確立された。
• $Gr(\mathbb{P}^2, \mathbb{P}^7)$ の $3$-接線的接触集合は、3つの $\mathbb{P}^3$ と1つの $\mathbb{P}^5$ の和集合であり、接線的弱退化であることが示された。
• 物理的解釈として、$\mathbb{P}(\bigwedge^3 \mathbb{C}^8)$ 内の軌道閉包の階層的構造が、3つの同一フェルミオンのもつれクラスに対応し、図式の上位レベルに位置するほどもつれの度合いが高くなる。