[論文レビュー] A new class of three-weight linear codes from weakly regular plateaued functions

Sihem Mesnager, Ferruh Özbudak+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の特徴を持つ有限体上に、弱く正則なプラトウ関数から構築された新しい三重重み線形符号のクラスを導入する。バント関数に関する先行研究を一般化することで、これらの符号の明示的な重み分布を導出し、特定の条件下で非ゼロ符号語が最小であることを証明した。この性質により、秘密分散スキームへの応用が可能となる。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have many applications in secret sharing schemes, authentication codes, communication and strongly regular graphs. In this paper, we consider linear codes with three weights in arbitrary characteristic. To do this, we generalize the recent contribution of Mesnager given in [Cryptography and Communications 9(1), 71-84, 2017]. We first present a new class of binary linear codes with three weights from plateaued Boolean functions and their weight distributions. We next introduce the notion of (weakly) regular plateaued functions in odd characteristic $p$ and give concrete examples of these functions. Moreover, we construct a new class of three-weight linear $p$-ary codes from weakly regular plateaued functions and determine their weight distributions. We finally analyse the constructed linear codes for secret sharing schemes.

研究の動機と目的

• バント関数から得られる少数重み線形符号の構成を、任意の特徴における弱く正則なプラトウ関数へと拡張すること。
• 奇素数冪順序の有限体上での（弱く）正則なプラトウ関数の定義と分析の理論的枠組みを確立すること。
• これらの関数に基づいて、明示的な三重重み線形 $p$-進および二進符号の族を構築し、その重み分布を同定すること。
• 構築された符号における符号語の最小性を分析し、秘密分散スキームへの応用を検討すること。
• 提案された符号が、独自のパrameterセットにより既知の符号と非同型であることを示すこと。

提案手法

• 特徴 $p$ が奇数である場合に、ウェルチ変換の性質を用いて、弱く正則なプラトウ関数としてプラトウ関数の概念を一般化する。
• ウェルチ変換とトレース関数を用いて、$\mathbb{F}_{p^m}$ 上のプラトウ関数から一般化された線形符号の構成法を定義する。
• モーメント解析とリーマン記号の性質を用いて、構築された符号の重み分布を計算する。
• パーソヴァルの等式と二次非剰剰剰余の性質を活用し、各重みの符号語の正確な個数を導出する。
• 条件 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$ を用いて、$m$ および $r$ に関する指定された条件下で、すべての非ゼロ符号語が最小であることを証明する。
• 双対符号の構造を分析し、秘密分散への適性を評価する。特に、最小符号語に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の特徴における弱く正則なプラトウ関数から、三重重み線形符号を体系的に構築できるか？
• RQ2 有限体 $\mathbb{F}_{p^m}$ 上の弱く正則なプラトウ関数から導かれる線形符号の正確な重み分布は何か？
• RQ3 構築された符号のすべての非ゼロ符号語が最小である条件は何か？
• RQ4 新規に構築された符号のパラメータは、文献に既知の符号とどのように比較できるか？
• RQ5 リーマン記号とトレース関数は、符号の重み分布を決定するために果たす役割は何か？

主な発見

• プラトウブール関数から、明示的に重み分布が同定された新しい三重重み二進線形符号の族が構築された。
• 奇素数 $p$ に対して、弱く正則な $p$-進プラトウ関数を導入し、$\mathbb{F}_{p^m}$ 上に具体的な例を提示した。
• 構築された $p$-進符号は三つの異なる非ゼロ重みを有し、リーマン記号の和とモーメント解析を用いて正確な個数が導出された。
• $m \geq 4$ かつ $0 \leq r \leq m-4$ のとき、$p$-進符号のすべての非ゼロ符号語は最小であり、条件 $\frac{p-1}{p} < \frac{w_{\text{min}}}{w_{\text{max}}}$ を満たす。
• $m \geq 3$ かつ $0 \leq r \leq m-3$ のとき、$m+r$ が奇数であれば、同様の最小性の結果が成り立つ。
• 構築された符号は、既存の文献に報告されたものとはパラメータが一致しないため、既知の符号と非同型である。