[論文レビュー] A new class of Z-graded Lie conformal algebras of infinite rank

Guangzhe Fan, Qiufan Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限ランクの新しい$Χ$-graded Lie conformal代数$Χ\mathcal{W}(a,c)$を導入し、$λ$-括弧$[L_i{}_{\lambda}L_j] = ((ai+c)\partial + (a(i+j)+2c)\lambda)L_{i+j}$で定義される。同定は、随伴導来、1次元中心拡大、およびランク1の conformalモジュールを完全に分類し、非自明な非可約ランク1モジュールが$\mathcal{C\!W}(0,c)$上でのみ存在することを示し、その完全分類を提供する。

ABSTRACT

In this paper, a new class of $\Z$-graded Lie conformal algebras $\CW(a,c)$ of infinite rank is constructed. The conformal derivations and one-dimensional central extensions of $\CW(a,c)$ are completely determined. And all conformal modules of rank one over $\CW(a,c) (a eq0)$ are proved to be trivial and all such nontrivial (irreducible) modules over $\CW(0,c)$ are classified.

研究の動機と目的

• 無限ランクの$Χ$-graded Lie conformal代数の新しい族を構成し、ループ・バライスロやブロック型代数といった既知の代数を一般化すること。
• $Χ\mathcal{W}(a,c)$のconformal導来代数を体系的に研究し、外部導来が存在する条件を特定すること。
• $Χ\mathcal{W}(a,c)$上でのすべての非自明（非可約）ランク1 conformalモジュールを分類し、それらが存在する正確な条件を同定すること。
• $Χ\mathcal{W}(a,c)$のすべての1次元中心拡大を計算し、完全な構造的分類を提供すること。

提案手法

• 代数$Χ\mathcal{W}(a,c)$は、基底$\{L_i \mid i \in \u03a7\}$と$λ$-括弧$[L_i{}_{\lambda}L_j] = ((ai+c)\partial + (a(i+j)+2c)\lambda)L_{i+j}$をもち、conformal公理を満たす$Χ[\partial]$-加群として構成される。
• Conformal導来は、導来$\phi_{\lambda}$に対するジャコビ恒等式を解くことで分析され、係数$a_m(L_i,L_j)$に関する関数方程式の系が得られる。
• ランク1 conformalモジュールの分類は、$\mathcal{C\!W}(a,c)$がランク1の$Χ[\partial]$-加群上に作用する様子を分析することに依拠し、conformalモジュール公理が用いられる。
• 1次元中心拡大は、2次コサイクル$\phi_{\lambda}$のコサイクル条件を解くことで計算され、$\lambda$および$\mu$における次数解析が$\phi_{\lambda}$の形を制約するために用いられる。
• 解析は、$a=0$および$a\neq0$のケースに分かれ、$a_m$係数の構造と得られる制約において異なる振る舞いを示す。
• 歪対称性およびジャコビ恒等式が体系的に適用され、自由パラメータの数が削減され、係数関数の関数方程式が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(a,c)$のどの値に対して$\mathcal{C\!W}(a,c)$が非自明な conformal 導来を有し、外部導来空間の次元はいかほどか。
• RQ2 $\mathcal{C\!W}(a,c)$上に非自明な非可約ランク1 conformal モジュールが存在するのはいつか、そしてその完全分類は何か。
• RQ3 $\mathcal{C\!W}(a,c)$の1次元中心拡大は何か、パrameter $a$および$c$にどのように依存するか。
• RQ4 $\mathcal{C\!W}(a,c)$の構造は、ループ・バライスロやブロック型代数といった既知の Lie conformal 代数をどのように統一または一般化するか。

主な発見

• $a^{-1}c \notin \u03a7$ ならば、$\mathcal{C\!W}(a,c)$の conformal 導来はすべて内部的である。そうでない場合、外部 conformal 導来空間は1次元である。
• $a \neq 0$ ならば、$\mathcal{C\!W}(a,c)$上のすべてのランク1 conformal モジュールは自明である（作用が0）。
• $\mathcal{C\!W}(0,c)$に対しては、すべての非自明な非可約ランク1 conformal モジュールが完全に分類され、$c$に関する特定の条件下でのみ存在する。
• $\mathcal{C\!W}(a,c)$の1次元中心拡大は、$a=0$でない限り自明である。$a=0$の場合、特定のコサイクル形を持つ非自明な拡大が存在する。
• $a \neq 0$ のとき、中心拡大は$c \neq 0$ならば自明であり、非自明な拡大は$a=0$かつ$c \neq 0$のときのみ存在する。拡大パrameterは$\Delta = a_0(L_1,L_{-1})$で与えられる。
• $\phi_{\lambda}(L_i,L_j)$の構造は、係数関数$A(i+j)$および$B(i+j)$によって完全に決定され、$a \neq 0$のとき$B=0$であり、$a=0$のとき$B$は任意である。