[論文レビュー] A New Construction for the Tame Local Langlands Correspondence for GL(n,F), n a prime

Moshe Adrian|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\ell$ が素数で $F$ が $p$-進体である $GL(\ell,F)$ に対するターム型局所ラングランズ対応の、自然な構成を提示する。超臨界表現を、楕円的トーラスの二重被覆の真正な特徴によってパラメトライズすることで、実群におけるハリシュ・チャンドラの特徴式にインspiredした手法を採用する。主な結果は、この手法により人工的な特徴式のねじれを排除でき、自然でねじれのない対応が得られることである。

ABSTRACT

In this paper, we give a new construction of the tame local Langlands correspondence for GL(n,F), n a prime, where F is a p-adic field. In the tame case, supercuspidal representations of GL(n,F) are parameterized by characters of elliptic tori, but the local Langlands correspondence is unnatural because it involves a twist by some character of the torus. Taking the cue from real groups, supercuspidal representations should instead be parameterized by characters of covers of tori. Over the reals, Harish-Chandra described the characters of discrete series restricted to compact tori. They are naturally written in terms of functions on a double cover of real tori. We write down a natural analogue of Harish-Chandra's character for GL(n,F), and show that it is the character of a unique supercuspidal representation, away from the local character expansion. This paves the way for a natural construction of the local Langlands correspondence for GL(n,F).

研究の動機と目的

• $n$ が素数のとき、古典的ターム型局所ラングランズ対応 $GL(n,F)$ における不自然な特徴式のねじれを解消すること。
• 楕円的トーラスの二重被覆を用いた幾何学的および表現論的に自然な超臨界表現のパラメトライズーションを提供すること。
• 実群理論と $p$-進群理論を統一するために、$p$-進設定においてハリシュ・チャンドラの離散系列特徴式を模倣すること。
• [18] に以前に現れた特徴式の起源を正当化し、説明すること。
• $\ell$ が素数のとき、$GL(\ell,F)$ に対する自然でねじれのない局所ラングランズ対応を、トーラス被覆の真正な特徴によって確立すること。

提案手法

• 楕円的トーラス自体の特徴ではなく、その標準的二重被覆 $T(F)_{\tau \circ \rho}$ の真正な特徴 $\tilde{\chi}$ を用いて超臨界表現をパラメトライズする。
• 二重被覆構造に適合したWeyl型特徴式を適応して、超臨界表現の特徴式 $F(\tilde{\chi})$ を構成する。
• Weil指数および $\epsilon$-因子 $\epsilon(\tilde{\chi}, \Delta^+, \tau)$ を用いて特徴式を定義・正規化する。
• 特徴式が、集合 $\{z \in T(F)^{\text{reg}} : 0 \leq n(z) \leq r/2\}$ 上の正則半単純集合で、唯一の超臨界表現の分布的特徴と一致することを示す。
• 特徴式が $n(z) = 0$ 範囲で一致するならば表現が同型であることを示すことにより、対応 $\varphi \mapsto \pi(\tilde{\chi})$ が単射かつ全射であることを証明する。
• Weil指数および局所クラス体理論の性質を活用して、二重被覆の算術を扱い、特徴式の一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\ell$ が素数の $GL(\ell,F)$ に対するターム型局所ラングランズ対応は、任意の特徴式のねじれなしに構成可能か？
• RQ2 楕円的トーラスの二重被覆の真正な特徴を用いた超臨界表現の自然なパラメトライズーションは存在するか？
• RQ3 [18] の超臨界表現の特徴式は、幾何的または表現論的原理から自然に生じるか？
• RQ4 特徴式 $F(\tilde{\chi})$ は、特に深さゼロの場合に、超臨界表現を一意に特定可能か？
• RQ5 同じカルタン部分群から複数の特徴式が生じる場合があるか？そのような場合の条件は何か？

主な発見

• $\ell$ が素数の $GL(\ell,F)$ に対する局所ラングランズ対応は、楕円的トーラスの二重被覆の真正な特徴を用いた自然な構成により、特徴式のねじれを排除して得られる。
• 二重被覆から構成された特徴式 $F(\tilde{\chi})$ は、集合 $\{z \in T(F)^{\text{reg}} : n(z) = 0\}$ 上で、唯一の超臨界表現の分布的特徴と一致する。
• 深さゼロの超臨界表現に対して、対応 $\tilde{\chi} \mapsto \pi(\tilde{\chi})$ は単射である：$n(z) = 0$ で二つの特徴が一致するならば、それらは $E/F$ の自己同型によって関連づけられる。
• 正の根の選び方に依存しない：特徴式はその選択に対して不変のままである。
• 本手法により、[18] からの特徴式が任意ではなく、一貫した特徴的枠組みから生じることを正当化する。
• 対応はねじれがない：写像 $\varphi \mapsto \pi(\tilde{\chi})$ は自然で、以前の構成に見られる $\Delta_\chi$ ねじれを必要としない。