[論文レビュー] The local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields

Torsten Wedhorn|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、p進体 K 上の GL(n) における局所 Langlands 対応について包括的な導入を提供し、GL(n,K) の適切な表現と n 次元の Frobenius 半単純 Weil-Deligne 表現との間の全単射を詳述している。p 特異 O-可除群の変形空間上の消失サイクルを用いた構成により、Harris-Taylor および Henniart の幾何的手法を用いて対応の証明に至る。

ABSTRACT

This work is intended as an introduction to the statement and the construction of the local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields. The emphasis lies on the statement and the explanation of the correspondence.

研究の動機と目的

• p 進局所体における GL(n) に対する局所 Langlands 対応の詳細な解説を提供すること。
• GL(n,K) の適切な表現と Weil-Deligne 表現との間の対応を明確にすること。
• p 可除 O-群と消失サイクルを用いた幾何的構成により、対応を説明すること。
• 変形理論と剛体コホモロジーを用いて L-関数および ε-因子の整合性を確立すること。
• p 進体上の自動形式および Langlands プログラムの分野に入門する研究者に対する基盤的参考文献としての役割を果たすこと。

提案手法

• 論文は、p 可除 O-群のモジュライ空間に関連する形式的スキームのコホモロジーを用いて対応を構成する。
• 特別な p 可除 O-群の普遍変形上の消失サイクルを用いて、ガロア表現を定義する。
• この方法は、Berkovich の比較定理に依拠しており、スキームの剛体コホモロジーと形式的スキーム上の消失サイクルを結びつける。
• コホモロジー群 Ψ^i_m および Ψ^i に、GL_h(O_K) × O^×_{D_{1/h}} × I_K の作用が含まれる。
• D×_{1/h} の既約適切表現を用いて、Hom-空間の構成により部分空間 Ψ^i(ρ) を定義する。
• GL(n) 側とガロア側の両方で定義された ε-因子を用いることで、L-および ε-因子の整合性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p 進体上の GL(n) に対する局所 Langlands 対応は、どのように幾何的に定式化され、構成されるか？
• RQ2 p 可除 O-群およびその変形は、対応の実現において果たす役割は何か？
• RQ3 形式的スキーム上の消失サイクルは、L-関数と整合するガロア表現をどのように提供するか？
• RQ4 コホモロジー群 Ψ^i_m および Ψ^i は、GL_h(O_K)、O^×_{D_{1/h}}、および単位群 I_K に対してどのように整合する作用を担っているか？
• RQ5 GL(n)-側とガロア側との間で、L-および ε-因子の整合性はどのように確立されるか？

主な発見

• p 進体 K 上の GL(n) に対する局所 Langlands 対応は、既約適切 GL(n,K)-表現の同型類と n 次元の Frobenius 半単純 Weil-Deligne 表現との間の全単射として実現される。
• コホモロジー群 Ψ^i_m および Ψ^i は、それぞれ I_K、GL_h(O_K)、O^×_{D_{1/h}} に対して連続的かつ適切で滑らかな作用をもつ、有限次元の C-ベクトル空間である。
• 特別な p 可除 O-群の普遍変形上の消失サイクルにより、必要なガロア表現が得られ、すべての i > h−1 に対して Ψ^i = 0 である。
• Harris-Taylor の Shimura 多様体を用いた構成により、対応は幾何的に実現され、グローバル Langlands 関手性と整合することが保証される。
• コホモロジー的枠組みにおいて ε-因子を用いることで、GL(n) 側とガロア側の両方で定義された ε-因子の整合性が保証される。
• A_K = { (γ,δ,σ) ∈ GL_h(K) × D×_{1/h} × W_K | v_K(det γ) = v_K(Nrd δ) + v_K(Art_K^{-1}(σ)) } の Ψ^i への作用は、well-defined であり、コホモロジー加群の構造を保存する。