[論文レビュー] A new construction of the moonshine vertex operator algebra over the real number field

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|Jan 13, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、実数体上でのモーズリン頂点 operator 代数 (VOA) V^{ atural} の新しい構成を提示し、その正定値双線形形式の確立と、その全自己同型群がモンスターシンプル群に一致することを証明する。この手法は格子頂点代数とオルビフォルド構成を用い、有限自己同型群をもつ無限族のメロモルフィック VOA を得るとともに、V^{ atural} におけるモンスターグループ要素のトレースを計算する。

ABSTRACT

We give a new construction of the moonshine VOA V^{ atural} over the real number field. We proved that V^{ atural} has a positive definite invariant bilinear form and its full automorphism group is the Monster simple group. We also construct an infinite series of meromorphic VOAs whose full automorphism groups are finite. We calculate the trace form on V^{ atural} for some element of the Monster.

研究の動機と目的

• 実数に基づく、モーズリン頂点 operator 代数 V^{ atural} の新しい構成を提供すること。
• V^{ atural} が正定値不変双線形形式をもつことを確立すること。
• 構成された V^{ atural} の全自己同型群がモンスター単純群に一致することを証明すること。
• この方法を用いて、有限自己同型群をもつ無限族のメロモルフィック VOA を体系的に構成すること。
• モンスターグループの特定要素が V^{ atural} に作用する際のトレース形式を計算すること。

提案手法

• 構成は、実数体上のリーク格子に関連する格子頂点代数を用いる。
• オルビフォルド理論を適用し、格子 VOA の自己同型を考察して新たな VOA を生成する。
• 特定の対合を用いてオルビフォルド構成を定義し、それによりモーズリン VOA V^{ atural} を得る。
• 頂点作用素の構成と性質を用いて、正定値不変双線形形式の存在を証明する。
• VOA の対称性構造の解析を通じて、全自己同型群がモンスター群に一致することを同定する。
• VOA の特徴関数理論とモジュラー不変性を用いて、モンスターグループの要素のトレース形式を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーズリン頂点 operator 代数 V^{ atural} は、新規な手法により実数体上で構成可能か？
• RQ2 構成された V^{ atural} は正定値不変双線形形式をもつか？
• RQ3 構成された V^{ atural} の全自己同型群は正確にモンスター単純群か？
• RQ4 この手法を用いて、有限自己同型群をもつ無限族のメロモルフィック VOA を体系的に構成可能か？
• RQ5 モンスターグループの特定要素が V^{ atural} に作用する際のトレース形式は何か？

主な発見

• モーズリン VOA V^{ atural} は、格子およびオルビフォルド手法を用いて実数体上で成功裏に構成された。
• V^{ atural} 代数は正定値不変双線形形式をもつことが確認され、ユニタリ構造が裏付けられた。
• V^{ atural} の全自己同型群はモンスター単純群に同定された。
• 同じ手法を用いて、有限自己同型群をもつ無限族のメロモルフィック VOA が構成された。
• VOA のモジュラー性質を用いて、モンスターグループの特定要素が V^{ atural} に作用する際のトレース形式が明示的に計算された。
• この構成により、モーズリン VOA の実数体実現が得られ、その代数的構造に関する基礎的問題が解決された。