[論文レビュー] A new family of efficient rectangular conforming mixed finite elements for linear elasticity in the symmetric formulation

Jun Hu|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、対称応力定式化における線形弾性のための新しい混合有限要素族を提案する。応力に豊富化されたBDFMおよびシレンディピティ要素を用い、変位に豊富化された不連続$P_{k-1}$または$Q_{k-1}$要素を用いる。この手法は最適収束率と適切に定義された問題を達成し、最低次の要素は2次元で10+4、3次元で21+6の自由度を有する。

ABSTRACT

A new family of mixed finite elements is proposed for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. For two dimensions, the normal stress of the matrix-valued stress field is approximated by an enriched Brezzi-Douglas-Fortin-Marini element of order $k$, and the shear stress by the serendipity element of order $k$, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $10$ plus $4$. For three dimensions, the normal stress is approximated by an enriched Raviart-Thomas element of order $k$, and each component of the shear stress by a product space of the serendipity element space of two variables and the space of polynomials of degree $\leq k-1$ with respect to the rest variable, the displacement field by an enriched discontinuous vector-valued $Q_{k-1}$ element. The degrees of freedom on each element of the lowest order element, which is of first order, is $21$ plus $6$. A family of reduced elements is also proposed by dropping some interior bubble functions of the stress and employing the discontinuous vector-valued $P_{k-1}$ (resp. $Q_{k-1}$) element for the displacement field on each element. As a result the lowest order elements have $8$ plus $2$ and $18$ plus $3$ degrees of freedom on each element for two and three dimensions, respectively. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 対称応力定式化における線形弾性のための安定的かつ効率的な混合有限要素法の開発。
• 標準的な有限要素空間の豊富化を通じて、混合定式化におけるロックインと安定性の課題に対処。
• 適合および低減されたバージョンの両方に対して、最適収束率と適切に定義された問題を保証。
• 低次のケースにおける最小自由度を有する混合要素の体系的構築。

提案手法

• 2次元では、正規応力に次数$k$の豊富化されたBrezzi-Douglas-Fortin-Marini（BDFM）要素を用い、せん断応力に次数$k$のシレンディピティ要素を用いる。
• 2次元では、変位場に豊富化された不連続ベクトル値$P_{k-1}$要素を用いる。
• 3次元では、正規応力を次数$k$の豊富化されたRaviart-Thomas要素で近似し、各せん断応力成分を次数$\leq k-1$の単変数多項式とシレンディピティ空間の積で近似する。
• 3次元では、変位に豊富化された不連続ベクトル値$Q_{k-1}$要素を用いる。
• 応力から内部バブル関数を除去し、変位に不連続$P_{k-1}$または$Q_{k-1}$要素を用いることで、低減された要素を提案する。
• 厳密な解析を通じて適切に定義された問題の確立と最適な事前誤差推定の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小自由度で、対称応力定式化を用いた線形弾性のための安定的混合有限要素法を構築可能か？
• RQ2 豊富化技術は、最適収束性を維持しつつ、応力および変位場の近似をどのように改善できるか？
• RQ3 2次元および3次元における安定的低次混合要素に必要な最小自由度はいくつか？
• RQ4 低減されたバージョンの手法は、最適収束性と適切に定義された問題を保持するか？
• RQ5 提案手法は、適合および低減両定式化において最適誤差推定を達成できるか？

主な発見

• 最低次の適合要素は、2次元で10 + 4、3次元で21 + 6の自由度を有し、最小の複雑性と最適な性能を保証する。
• 低減要素は、2次元で8 + 2、3次元で18 + 3の自由度で、適切に定義された問題と最適収束性を達成する。
• 適合および低減された要素族の両方に対して、最適な事前誤差推定が証明され、最適収束率が確認された。
• 応力空間の適切な豊富化と変位近似の適切な選択により、安定性が確保される。
• 数値実験により理論的予測が確認され、実際の最適収束性が示された。
• 提案手法は、さまざまな多項式次数にわたり、ロックインを効果的に回避し、最適収束性を維持する。