[論文レビュー] A new higher homotopy groupoid: the fundamental globular omega-groupoid of a filtered space

Ronald Brown|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、n-グローブのスケルタルフィルトレーションを用いて、フィルター付き空間の基本的グローブ型ω-群小を導入し、それが基本群小の高次ホモトピー的一般化であることを確立する。立方体の高次ホモトピー群小の構成を活用し、1つのn次元生成元上の自由グローブ型ω-群小の交差複体が、n-グローブの基本的交差複体と同型であることを証明することで、ホモトピー的計算可能性が向上した新しい代数的モデルを提供する。

ABSTRACT

We use the n-globe with its skeletal filtration to define the fundamental globular omega--groupoid of a filtered space; the proofs use an analogous fundamental cubical omega--groupoid due to the author and Philip Higgins. This method also relates the construction to the fundamental crossed complex of a filtered space, and this relation allows the proof that the crossed complex associated to the free globular omega-groupoid on one element of dimension n is the fundamental crossed complex of the n-globe.

研究の動機と目的

• フィルター付き空間のための新しい高次ホモトピー群小構造を、グローブ的アプローチを用いて開発すること。
• フィルター付き空間の基本的グローブ型ω-群小とその基本的交差複体との関係を確立すること。
• 1つのn-セル上の自由グローブ型ω-群小の交差複体が、n-グローブの基本的交差複体と同型であることを証明すること。
• グローブ的設定における高次ホモトピーのvan Kampen定理の枠組みを提供すること。
• 立方体の高次ホモトピー群小のアプローチを、完全な代数的構造を持つグローブ型ω-群小モデルに一般化すること。

提案手法

• n-グローブのスケルタルフィルトレーションをモデル空間として用い、基本的グローブ型ω-群小を定義する。
• フィルター付き空間へのフィルター付き写像のグローブ的集合を、頂点を固定するフィルターホモトピーに関して商集合として定義する。
• 従来確立された立方体の高次ホモトピー群小とその交差複体との関係に依拠する。
• 商集合に ∘ᵢ を定義することで、グローブ型ω-群小の構造を与える。
• 立方体集合に接続を備えたものに対して、折りたたみ操作 Φₙ を用いてグローブ的部品を抽出する。
• 主な技術的ステップは、Φₙ がグローブ的部分集合へ写像することを示すことであり、これによりグローブ的構造と整合性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター付き空間の基本的グローブ型ω-群小は、n-グローブのフィルトレーションを用いて構成可能か？
• RQ2 フィルター付き空間の基本的グローブ型ω-群小は、その基本的交差複体とどのように関係するか？
• RQ3 1つのn-セル上の自由グローブ型ω-群小の交差複体は、n-グローブの基本的交差複体と同型か？
• RQ4 グローブ型ω-群小の設定において、高次ホモトピーのvan Kampen定理を定式化できるか？
• RQ5 折りたたみ操作 Φₙ は、接続を備えた立方体集合からグローブ的構造を抽出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• フィルター付き空間の基本的グローブ型ω-群小は、すべての次元 n ≥ 1 に対して、合成 ∘ᵢ を備えて正しく定義されている。
• グローブ型ω-群小の構造は、折りたたみ操作 Φₙ を通じて、立方体の高次ホモトピー群小から引き継がれる。
• 1つのn-セル上の自由グローブ型ω-群小に関連する交差複体は、n-グローブの基本的交差複体と同型である。
• この構成は、ホモトピー論におけるコロイミット計算を可能にする高次ホモトピーのvan Kampen定理を満たす。
• 折りたたみ操作 Φₙ は、接続を備えた立方体集合のグローブ的部分集合へ写像するため、グローブ的構造が保たれる。
• この方法により、グローブ型ω-群小を用いた、新しい計算可能なフィルター付き空間の代数的モデルが提供される。