[論文レビュー] A New Infinite Class of Sasaki-Einstein Manifolds

Jerome P. Gauntlett, Dario Martelli+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、次元 $2n+3$ の正の曲率をもつ任意のケーラー＝エインシュタイン多様体 $B_{2n}$ を基底として、$U(1)$ フibratioin バンドル構成を用いて、無限個の明示的で単連結かつスピンなサスキー＝アインシュタイン多様体の新しい族を構成する。この構成は、共型次元1のアンサーツを用い、以前の結果を一般化する特定の計量アンサーツを採用しており、準正則および不正則な例を両方得る。計量の錐は $SU(n+2)$ トランスレーションをもち、超対称的超重力双対が得られる新しい超共形場理論の双対を提供する。

ABSTRACT

We show that for every positive curvature Kahler-Einstein manifold in dimension 2n there is a countably infinite class of associated Sasaki-Einstein manifolds X_{2n+3} in dimension 2n+3. When n=1 we recover a recently discovered family of supersymmetric AdS_5 x X_5 solutions of type IIB string theory, while when n=2 we obtain new supersymmetric AdS_4 x X_7 solutions of D=11 supergravity. Both are expected to provide new supergravity duals of superconformal field theories.

研究の動機と目的

• 次元 $2n+3$ の明示的でコンパクトかつ単連結なサスキー＝アインシュタイン多様体を、次元 $2n$ の正の曲率ケーラー＝エインシュタイン基底に対して任意に構成すること。
• 特に $S^2 \times S^3$ 家族を含む、以前の共型次元1サスキー＝アインシュタイン計量の構成を、すべての次元およびすべての基底多様体に一般化すること。
• 既知の可換なケースにとどまらず、非可換的で準正則的および不正則的なサスキー＝アインシュタイン多様体の、初めての明示的例を提供すること。
• タイプIIBおよび $D=11$ 超重力理論における、新しい $AdS_{5}\times X_5$ および $AdS_4\times X_7$ 解を体系的に生成する方法を確立すること。
• 構成された多様体の計量の錐が $SU(n+2)$ トランスレーションをもち、Calabi-Yau 構造およびキリングスピンォーの存在を確認すること。

提案手法

• サスキー＝アインシュタイン多様体 $X_{2n+3}$ は、ケーラー＝エインシュタイン基底 $B_{2n}$ を基に $U(1)$ バンドル構造によってファイバー化され、共型次元1の計量アンサーツが用いられる。
• 計量は、径方向座標 $\rho$ を含むワーピング積の形で構成され、アインシュタイン条件から導かれる常微分方程式系を満たす関数 $f(\rho)$, $q(\rho)$, および $F(y)$ を含む。
• パラメータ $\kappa$ が解の族を表し、$\kappa$ は $U(1)$ 軌道の位相的性質と正則性に関連している。
• キリングベクトル $V = \partial/\partial\psi$ の閉じた軌道または稠密な軌道であることを確認することで、計量が全空間で滑らかで定義可能であることが示される。$f(\rho_2) \in \mathbb{Q}$ または $\notin \mathbb{Q}$ に依存する。
• 新しい座標 $y$ および $\beta$ を用いてアンサーツを標準形に変換し、$F(y)$ は次数 $n$ の多項式 $Q_n(x)$ を含む有理関数として表現される。
• 平行スピンォーの存在により、計量の錐のトランスレーションが $SU(n+2)$ に含まれることが示され、Calabi-Yau 構造およびサスキー＝アインシュタイン条件の確認がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の可換的および低次元のケースにとどまらず、明示的サスキー＝アインシュタイン多様体の体系的構成を一般化することは可能か？
• RQ2 基底が次元 $2n$ の任意の正の曲率ケーラー＝エインシュタイン多様体であるとき、サスキー＝アインシュタイン計量の構造はどのようになるか？
• RQ3 パラメータ $\kappa$ および $f(\rho_2)$ の値に依存して、$U(1)$ 動作のグローバル性質（正則性、準正則性、不正則性）はどのように変化するか？
• RQ4 構成されたサスキー＝アインシュタイン多様体の計量の錐のトランスレーションは何か？Calabi-Yau 構造を確認できるか？
• RQ5 この構成により、$D=4$ および $D=3$ の超共形場理論の超重力双対が得られるか？

主な発見

• 任意の正の曲率ケーラー＝エインシュタイン多様体 $B_{2n}$ に対して、次元 $2n+3$ に、コンパクトで単連結かつスピンなサスキー＝アインシュタイン多様体 $X_{2n+3}$ の可算無限族が構成される。
• $X_{2n+3}$ の等長群には、基底 $B_{2n}$ の等長群 $G$ と $T^2$ の直積 $G \times T^2$ が少なくとも含まれており、対称性が向上していることが示される。
• $f(\rho_2) \in \mathbb{Q}$ のとき、多様体は準正則的であり、良好に定義されたケーラー＝エインシュタイン軌道空間を持つ。$f(\rho_2) \notin \mathbb{Q}$ のとき、多様体は不正則的であり、良好に定義された基底を持たない。
• $X_{2n+3}$ の計量の錐のトランスレーションは $SU(n+2)$ に含まれており、これは Calabi-Yau 錐であり、$X_{2n+3}$ がキリングスピンォーをもつことを確認する。
• $n=1$ のとき、この構成は既知の $S^2 \times S^3$ 計量の無限族を再現する。$n=2$ のとき、$D=11$ 超重力理論における新しい明示的 $AdS_4 \times X_7$ 解が得られる。
• この構成は $c=0$ の極限を含み、$Q^{1,1,1}$ や $M^{3,2}$ のような既知の正則な可換なサスキー＝アインシュタイン多様体が特別な場合として回復される。