[論文レビュー] A new integrable system of symmetrically coupled derivative nonlinear Schroedinger equations via the singularity analysis

Sergei Sakovich, Takayuki Tsuchida|ArXiv.org|Apr 14, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、特異性解析を用いて、2つの対称的に結合された導関数非線形シュレーディンガー方程式の新しい可積分系を同定する。非線形変換を適用することで、この系は2つの独立したChen-Lee-Liu方程式に分解され、Painlevéテストと保存則を用いて可積分性が証明される。

ABSTRACT

A new integrable system of two symmetrically coupled derivative nonlinear Schroedinger equations is detected by means of the singularity analysis. A nonlinear transformation is proposed which uncouples the equations of the new system.

研究の動機と目的

• 特異性解析法を用いて、対称的に結合された導関数非線形シュレーディンガー方程式（DNLS）の新しい可積分ケースを同定すること。
• この系が可積分性のPainlevéテストに合格するための条件を特定すること。
• 系をより単純で既知の可積分方程式に分離する非線形変換を構成すること。
• すべての共鳴点における再帰関係の整合性と保存則の存在を確認することで、可積分性を検証すること。

提案手法

• q, rおよびそれらの複素共役に関する4つの2階微分方程式系に、Weiss-Kruskalの特異性解析アルゴリズムを適用する。
• 負の指数を有する一般特異解の分岐を検討し、8つの共鳴点を有する。特に、α + β = -1およびγ + δ > -1のケースに注目する。
• Mathematicaを用いた記号計算により、共鳴点における再帰関係の整合性を満たすためのパラメータa, b, c, d, e, f, gの条件を導出する。
• 位相因子と空間的シフトを含む非線形変換を導出し、系を2つの独立したChen-Lee-Liu方程式に分離する。
• すべての共鳴点における再帰関係の整合性を確認し、ランク4までで保存則の存在を検証することで、可積分性を検証する。
• テイラー級数解のためのCauchy-Kovalevskaya定理を用い、追加の非一般的分岐についても整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータa, b, c, d, e, f, gにどのような条件が課されると、結合DNLS系がPainlevéテストを通過し、可積分となるか？
• RQ2 系をより単純で既知の可積分方程式に分離する非線形変換を構成可能か？
• RQ3 8つの共鳴点を有する一般特異解分岐が存在し、すべての共鳴位置で再帰関係が整合的か？
• RQ4 ランク1から少なくともランク4まで、各ランクごとに2つの保存則が存在するか？これはLax対またはバイハミルトニアン構造の存在を示唆するか？
• RQ5 位相積分を含む変換は、結合系とChen-Lee-Liu方程式との間にどのような関係をもたらすか？

主な発見

• a = c = e ≠ 0およびb = d = g = 0を満たすパラメータ条件下で、新しい可積分ケースが同定され、Painlevéテストに合格する。一般特異解分岐が整合的である。
• 系は非線形変換により、2つの独立したChen-Lee-Liu方程式に写像可能である：u_t = iu_xx + 2uυu_xおよびv_t = iv_xx + 2vυv_x。
• 変換はq = u exp(i∫x₀ˣ v̄v dx′)およびr = v exp(i∫x₀ˣ uυu dx′)で定義され、系の分離が明確に実現される。
• 共鳴点がn = -1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 3に位置し、すべての共鳴レベルで再帰関係が整合的であるため、Painlevéテストに合格する。
• ランク1から少なくともランク4まで、各ランクごとに2つの保存則が存在し、系の可積分性を支持する。
• 新しい可積分系の簡略化された形は、q_t = iq_xx + 2(qq̄q_x + rr̄q_x + qr r̄_x)およびr_t = ir_xx + 2(rr̄r_x + qq̄r_x + rq q̄_x)で与えられる。