[論文レビュー] A New Kind of High-Order Multi-step Schemes for Forward Backward Stochastic Differential Equations

Weidong Zhao, Yu Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、前向きSDEにオイラー法を適用しつつ、後向きSDEの解に対して高次精度を保ちながら、結合された前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）を解くための新規な高次多段階数値スキームを提案する。この手法は、BSDEから導出された参考ODEにおける条件付き期待値およびその導関数の近似を通じて高次収束を達成し、非結合および完全結合FBSDEの両方において、数値実験で優れた効率性と精度を示している。

ABSTRACT

In this work, we concern with the high order numerical methods for coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). Based on the FBSDEs theory, we derive two reference ordinary differential equations (ODEs) from the backward SDE, which contain the conditional expectations and their derivatives. Then, our high order multi-step schemes are obtained by carefully approximating the derivatives and the conditional expectations in the reference ODEs. Motivated by the local property of the generator of diffusion processes, the Euler method is used to solve the forward SDE, however, it is noticed that the numerical solution of the backward SDE is still of high order accuracy. Such results are obviously promising: on one hand, the use of Euler method (for the forward SDE) can dramatically simplifies the entire computational scheme, and on the other hand, one might be only interested in the solution of the backward SDE in many real applications such as option pricing. Several numerical experiments are carried out to demonstrate the effectiveness of the numerical method.

研究の動機と目的

• 結合FBSDEに対する効率的な高次数値スキームの開発。これは、前向きおよび後向き成分の相互依存性のため、困難である。
• 前向きSDEに単純なオイラー法を用いることで高次手法の計算負荷を軽減しつつ、後向き解における高次精度を維持すること。
• オプションプライシングなどの応用において主に注目される後向きSDEに計算効率を集中させること。
• 前向きSDEに低次手法を用いても、全体の収束性が低下しない理論的・数値的枠組みを確立すること。
• 後向き変数に依存する拡散係数を有する非結合および完全結合FBSDEに対して、本手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 後向きSDEに由来する2つの参考常微分方程式（ODE）を導出する。これらは条件付き期待値およびその導関数を含む。
• 高次多段階技術を用いて、条件付き期待値およびその導関数を近似し、数値スキームを構築する。
• 前向きSDEにオイラー法を適用することで計算コストを著しく削減し、同時に後向き解の高次精度を維持する。
• 拡散過程の生成子の局所的性質を用いて、前向き成分にオイラー法を適用しても全体の収束性が劣化しないことを正当化する。
• 後向き成分における$Y_0$および$Z_0$の両方に対して$ k $次収束を達成する多段階スキームを構築する。
• ステップサイズと$ k=1 $から$ k=4 $までの異なる次数を用いた数値実験を通じて、収束率と実行時間を測定してスキームを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向きSDEに低次手法（オイラー法）を用いながら、後向き解における高次精度を維持する結合FBSDE用の高次多段階スキームを設計可能か？
• RQ2 特に拡散係数が$Y_t$および$Z_t$に依存する場合に、非結合および完全結合FBSDEに対して、提案スキームの収束率はいかほどか？
• RQ3 多段階スキームの次数$ k $が増加するに従い、計算コストはどのように変化するか？また、$ k $が高くなる場合でも本スキームは効率的か？
• RQ4 前向きSDEにのみ1次精度のオイラー法を用いる場合でも、本手法が高次収束を達成可能か？
• RQ5 既知の解析解を有するベンチマーク問題において、本スキームは実際の応用でどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案された多段階スキームは、後向きSDEにおける$Y_0$および$Z_0$の両方に対して$ k $次収束を達成し、数値実験で収束率が$ k $に近づくことが確認された。
• 例題4において$ k=4 $の場合、$|Y^0 - Y_0|$の収束率が約4.006、$|Z^0 - Z_0|$の収束率が4.055に達し、高次精度が裏付けられた。
• 例題5では完全結合FBSDEであり、$\sigma$が$X_t, Y_t, Z_t$に依存するが、$ k=4 $のとき$|Y^0 - Y_0|$の収束率が3.996、$|Z^0 - Z_0|$の収束率が3.911に達し、強健性が確認された。
• 実行時間（RT）は$ k $に応じて増加するが、本スキームは依然として効率的であり、例題5における$ k=1 $から$ k=4 $までのRT値はそれぞれ13.982、40.198、182.862、1267.329であった。
• 前向きSDEにオイラー法を用いることで計算コストが著しく削減されつつ、後向き解の高次精度が維持され、オプションプライシングなどの応用において極めて効率的であることが示された。
• 非結合および完全結合FBSDEの両方に対して本手法は有効であり、後向き変数に依存する拡散係数を有する場合でも、既知の正確解を有する多数の数値例を通じて確認された。