[論文レビュー] A new look at short-term implied volatility in asset price models with jumps

Aleksandar Mijatović, Peter Tankov|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴う短期オプションプライシングモデルにおけるストライク価格の新しい正規化を導入し、インプライド・ボラティリティが拡散ボラティリティとジャンプ活動のブルメンタール＝ゲトゥア指数に依存する非定数の極限に収束することを示している。主な結果は、有限変動と無限変動ジャンプを区別する極限インプライド・ボラティリティの公式であり、無限変動レヴィモデルが短期満期市場データにうまく適合する理由を説明している。

ABSTRACT

We analyse the behaviour of the implied volatility smile for options close to expiry in the exponential Lévy class of asset price models with jumps. We introduce a new renormalisation of the strike variable with the property that the implied volatility converges to a non-constant limiting shape, which is a function of both the diffusion component of the process and the jump activity (Blumenthal-Getoor) index of the jump component. Our limiting implied volatility formula relates the jump activity of the underlying asset price process to the short end of the implied volatility surface and sheds new light on the difference between finite and infinite variation jumps from the viewpoint of option prices: in the latter, the wings of the limiting smile are determined by the jump activity indices of the positive and negative jumps, whereas in the former, the wings have a constant model-independent slope. This result gives a theoretical justification for the preference of the infinite variation Lévy models over the finite variation ones in the calibration based on short-maturity option prices.

研究の動機と目的

• 固定ストライクの短期満期モデルにおける理論的インプライド・ボラティリティの発散と、実際の市場行動におけるボラティリティの有界性の乖離を解消すること。
• 満期がゼロに近づく際、インプライド・ボラティリティに非退化した極限をもたらす動的ストライクのパラメータ化を特定すること。
• ジャンプ活動（ブルメンタール＝ゲトゥア指数を介して）と短期インプライド・ボラティリティ・スマイルの形状との関係を同定すること。
• 短期満期オプション価格のキャリブレーションにおいて無限変動レヴィモデルが優れていることを理論的に正当化すること。

提案手法

• ストライクの新しいパラメータ化を提案：$ k_t = \theta \sqrt{t \log(1/t)} $ は、満期が短いとマーキャンティ（原価）に近づくが、依然としてアウト・オブ・ザ・マネーのままである。
• 指数レヴィモデルにジャンプを含む場合、満期 $ t \downarrow 0 $ におけるインプライド・ボラティリティ $ \widehat{\sigma}(t, k_t) $ の漸近的挙動を分析する。
• 極限インプライド・ボラティリティ関数 $ \sigma_0(\theta) = \max\left\{ \frac{-\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_- - 1)^+}}, \sigma, \frac{\theta}{\sqrt{1 - (\alpha_+ - 1)^+}} \right\} $ を導出する。ここで $ \alpha_+ $、$ \alpha_- $ は正のジャンプおよび負のジャンプのブルメンタール＝ゲトゥア指数を表す。
• シェア測度変換と漸近展開を用いて極限を導出し、優越収束定理とレヴィ＝キンチン表現に依存する。
• プット・コール対称性とテイラー展開技術を用いて、オプション価格展開における高次項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストライクが固定でない場合、短期満期オプションのインプライド・ボラティリティ・サーフェスをどのように一貫的にパラメータ化できるか？
• RQ2 満期がゼロに近づく際、マーキャンティに近づく動的ストライクを用いた場合、インプライド・ボラティリティ・スマイルの極限的形状は何か？
• RQ3 ジャンプ活動のブルメンタール＝ゲトゥア指数は、特にスマイルのエッジ部において短期インプライド・ボラティリティにどのように影響を与えるか？
• RQ4 なぜ無限変動レヴィモデルは、短期満期オプション価格のフィッティングにおいて有限変動モデルを上回るのか？

主な発見

• 極限インプライド・ボラティリティ $ \sigma_0(\theta) $ は非定数であり、拡散ボラティリティ $ \sigma $ とジャンプ活動指数 $ \alpha_+ $、$ \alpha_- $ に依存する。
• 無限変動ジャンプ（$ \alpha_+ \geq 1 $ または $ \alpha_- \geq 1 $）の場合は、スマイルのエッジ部がジャンプ活動指数によって決定され、拡散の有無に応じてU字型またはV字型のスマイル形状を示す。
• 有限変動ジャンプ（$ \alpha_+ < 1 $、$ \alpha_- < 1 $）の場合は、極限スマイルのエッジ部における傾きは絶対値が1の定数となり、ジャンプ構造とは無関係である。
• 極限公式により、$ |\theta| $ が大きい場合のインプライド・ボラティリティ・スマイルの傾きが $ \frac{1}{\sqrt{1 - (\alpha_\pm - 1)^+}} $ であることが示され、$ \alpha_\pm \to 1 $ に近づくと発散するため、有限変動の境界付近でのジャンプ活動への感受性が明確になる。
• このモデルは、提案された動的ストライクパラメータ化のもとで、短期満期における市場で観測される有界なインプライド・ボラティリティが自然に生じることを確認しており、従来モデルにおける主要な不整合を解消している。