[論文レビュー] A new look at the Crossed-Product of a C*-Algebra by a Semigroup of Endomorphisms

Ruy Exel|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、'相互作用群'——自己準同型と移行作用素の一般化——を用いて、C*-代数のモノイドによる交叉積の新しい枠組みを導入する。これにより、マルコフ符号付きシフトからカントツ＝クリーガー代数を正しく実現する一貫性のある構成が可能になる。主な貢献は、標準的な交叉積構成における等長実装の失敗を回避する理論を提供することであり、代数的作用における群付き構造を用いて双対作用素を統合することで達成される。

ABSTRACT

Let G be a group and let P be a subsemigroup of G. In order to describe the crossed product of a C*-algebra A by an action of P by unital endomorphisms we find that we must extend the action to the whole group G. This extension fits into a broader notion of "interaction groups" which consists of an assignment of a positive operator V_g on A for each g in G, obeying a partial group law, and such that (V_g,V_{g^{-1}}) is an interaction for every g, as defined in a previous paper by the author. We then develop a theory of crossed products by interaction groups and compare it to other endomorphism crossed product constructions.

研究の動機と目的

• ユニタリ自己準同型の文脈、特にマルコフ符号付きシフトにおいて、標準的な等長的共変性条件が失敗する問題を解消すること。
• 自己準同型と移行作用素を'相互作用群'を介して群付き構造に統合する包括的枠組みを構築すること。
• マルコフシフトによって誘導される自己準同型によるC(K)の交叉積として、カントツ＝クリーガー代数を正しく実現する構成を提供すること。
• 標準的な等長的実装条件 α(a) = SaS* がカントツ＝クリーガー代数では成立しないこと、したがって新たな共変性条件が不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 2つの作用素 V_g と V_{g^{-1}} 間の'相互作用'の概念を導入し、自己準同型と移行作用素を一般化する。
• 群 G における各 g に対して {V_g} を定義し、各 (V_g, V_{g^{-1}}) が相互作用を形成するものとする。
• V_g(a) と V_{g^{-1}} の双対作用に依存する普遍関係を用いて、A ×_V G を交叉積として構成する。
• フォック代数 A(H) の普遍性を用いて、ヒルベルト空間 H 上の等長作用素 s_g を介して自己準同型 α_g と移行作用素 L_g を定義する。
• 得られた系 (A(H), N×N, α, ℓ) がラーセンの動的系の公理を満たすが、相互作用群への拡張を許すために必要な可換性条件 α_g L_g ∘ α_h L_h = α_h L_h ∘ α_g L_g を満たさないことを示す。
• フォック代数の普遍性を適用し、E を条件付き期待値とするとき、L = α^{-1} ∘ E により移行作用素 L を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ符号付きシフトによって誘導される自己準同型に対して、標準的な等長的共変性条件 α(a) = SaS* がカントツ＝クリーガー代数で満たされるか。
• RQ2 Cuntz-Krieger代数 O_A が C(K) の自己準同型による交叉積として正しく実現される一貫性のある一般化された交叉積構成は存在するか。
• RQ3 自己準同型のモノイドに対して、移行作用素を群付き枠組み内で自己準同型と一貫して統合する方法は何か。
• RQ4 自己準同型によるモノイド作用を、相互作用を介して完全な群作用に拡張するための構造的要件は何か。
• RQ5 なぜ標準的構成がユニタリ自己準同型で失敗するのか。その失敗を解消する代替的共変性条件は何か。

主な発見

• 対角部分代数の最大性を用いた背理法により、K 上のマルコフシフトによって誘導される自己準同型に対して、O_2 において標準的な等長的共変性条件 α(a) = SaS* は満たせないことが示された。
• C(K) 上のマルコフシフトによって誘導される自己準同型 α は全射でないため、ユニタリ作用素 S を用いた SaS* による実装の要件を満たさない。
• 新たな共変性条件として、Sa = α(a)S および S*S a S = L(a)（L は移行作用素）を提案し、これにより等長的条件の失敗を回避できる。
• 系 (A(H), N×N, α, ℓ) はラーセンの動的系の公理を満たすが、α_g L_g ∘ α_h L_h = α_h L_h ∘ α_g L_g の可換性条件を満たさないため、相互作用群への拡張は不可能である。
• E を条件付き期待値とする L = α^{-1} ∘ E による移行作用素 L の構成は、単一自己準同型の場合を一般化する一貫した双対作用を提供する。
• 相互作用群の枠組みにより、自己準同型と移行作用素が単一の群付き構造に統合され、モノイド作用に対する一貫した交叉積構成が可能になる。