[論文レビュー] A new moving frame to extract scattering phases in lattice QCD

Xu Feng, Karl Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全運動量 $\mathbf{P} = (2\pi/L)(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2)$ を持つ lattice QCD の新しい運動フレームにおける有限サイズの公式を導出しており、同一の格子サイズで複数のエネルギーにおける S 波および P 波散乱位相の高精度な抽出を可能にする。この手法は Lüscher の形式主義をこの新規フレームに拡張し、計算コストを低減しつつも、共鳴パラメータの決定を改善する。

ABSTRACT

We present a derivation of the finite-size formulae in a moving frame with total momentum P=(2π/L)(e1+e2). These formulae allow us to calculate the S-wave and P-wave scattering phases at more energies with a fixed lattice size and thus help us to determine the resonance parameters precisely.

研究の動機と目的

• lattice QCD における運動フレーム形式主義を、全運動量 $\mathbf{P} = (2\pi/L)(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2)$ を持つ新しいフレームに拡張すること。
• このフレームにおけるエネルギー固有値と無限体積における散乱位相を関連付ける有限サイズの公式を導出すること。
• 格子体積を増大させることなく、共鳴領域における散乱位相の高分解能決定を可能にすること。
• 格子データから共鳴パラメータ（質量や幅など）を高精度で抽出することを支援すること。

提案手法

• 全運動量 $\mathbf{d} = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$ を持つ新しい運動フレームにおけるヘルムホルツ方程式の特異的 $\mathbf{d}$-周期的解を導出する。
• ローレンツ変換を用いて、運動フレームにおける波動関数を重心系と関連付ける。
• 球面調和関数および球ベッセル関数を用いた展開を行い、対称性に適合した基底関数を組み込む。
• 修正 zeta 関数 $\mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{lm}(q^2)$ を用いて $\mathcal{M}^{\mathbf{d}}_{lm,l'm'}(p)$ 行列要素を構築する。
• 波動関数の二通りの展開を等置し、行列式の条件を満たすことで一貫性を確保することにより、有限サイズの公式を導出する。
• 対称性の既約表現 $A^+$, $B_1^-$, $B_2^-$, $B_3^-$ に対して、$\tan^{-1}\delta_l(p) = M^{\mathbf{d}}_{ln,l'n'}(\Gamma)$ で散乱位相を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lattice QCD において、全運動量 $\mathbf{P} = (2\pi/L)(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2)$ を持つ新しい運動フレームに対して、有限サイズの公式を導出可能か？
• RQ2 この新しいフレームにおけるエネルギー固有値は、S 波および P 波チャンネルの散乱位相にどのように依存するか？
• RQ3 このフレームにおける $\mathcal{M}^{\mathbf{d}}_{lm,l'm'}(p)$ 行列の構造は何か？ どの行列要素が非ゼロか？
• RQ4 この形式主義により、共鳴領域における散乱位相の決定分解能が向上するか？

主な発見

• 全運動量 $\mathbf{P} = (2\pi/L)(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2)$ を持つ新しい運動フレームにおける有限サイズの公式が導出され、格子エネルギー固有値から散乱位相を抽出することが可能になった。
• $l,l' = 0,1$ の場合における $\mathcal{M}^{\mathbf{d}}_{lm,l'm'}(p)$ 行列要素が明示的に計算され、非ゼロの成分は表 1 にリストされている。
• S 波チャンネルでは、$\tan^{-1}\delta_0(p) = M^{\mathbf{d}}_{01,01}(A^+)$ であり、$M^{\mathbf{d}}_{01,01}(A^+) = (\gamma\pi^{3/2}q)^{-1}\mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{00}$ である。
• P 波チャンネルでは、$\tan^{-1}\delta_1(p) = M^{\mathbf{d}}_{11,11}(\Gamma)$ であり、$\Gamma = B_1^-, B_2^-, B_3^-$ の場合、$\mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{00}$, $\mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{20}$, および $\mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{22} \pm \mathcal{Z}^{\mathbf{d}}_{2\bar{2}}$ を含む明示的表現が得られた。
• 導出された公式により、同一の格子サイズで複数のエネルギーにおける散乱位相の決定が可能となり、共鳴パラメータの分解能が向上した。