[論文レビュー] A New Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Ill-posed Elliptic Cauchy Problems

Chunmei Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、弱勾配と対称的で適切に定義された離散系を用いて、正確な解が存在する場合にそれを保持する、不適切に定式化された楕円型コーシー問題を解くための新規なプリミティブ・双対弱ガレルキン有限要素法を提案する。この手法はスケーリングされた残差ノルムにおいて最適収束率を達成し、問題のある問題に対してもロバストで収束する数値近似を示す。

ABSTRACT

A new numerical method is devised and analyzed for a type of ill-posed elliptic Cauchy problems by using the primal-dual weak Galerkin finite element method. This new primal-dual weak Galerkin algorithm is robust and efficient in the sense that the system arising from the scheme is symmetric, well-posed, and is satisfied by the exact solution (if it exists). An error estimate of optimal order is established for the corresponding numerical solutions in a scaled residual norm. In addition, a mathematical convergence is established in a weak $L^2$ topology for the new numerical method. Numerical results are reported to demonstrate the efficiency of the primal-dual weak Galerkin method as well as the accuracy of the numerical approximations.

研究の動機と目的

• 不適切に定式化された楕円型コーシー問題の数値解法を扱う。これらの問題は本質的に不安定であり、データに対する連続的依存性を欠く。
• 元のPDE問題が不適切に定式化されていても、安定で収束する有限要素法を開発する。
• プライマル・ダウルの鞍点構造を有する弱ガレルキン定式化を用いて、対称的で適切に定義された離散系を構築する。
• メッシュ依存のスケーリングされた残差ノルムにおける最適誤差推定と、数値解の弱$L^2$収束を確立する。
• 既知の正確な解を有するベンチマーク問題に対する数値実験を通じて、手法のロバスト性と精度を示す。

提案手法

• 弱勾配と境界条件が部分的に指定されたテスト関数を含む弱ガレルキン混合変分形式を用いて、楕円型コーシー問題を定式化する。
• 多角形／多面体メッシュ上で、プライマル変数とその弱勾配の両方について、区分的多項式近似を用いて弱形式を離散化する。
• 一般化されたインフラ・スープ条件を介して安定性を確保するため、離散弱形式と双対方程式を結合して、プライマル・ダウル弱ガレルキンスキームを構築する。
• 双対変数を変分形式に埋め込むことで、得られる線形系の対称性と適切に定義された性質を保証する。
• スケーリングされた残差ノルムを用いて誤差を測定し、不適切に定式化された問題の文脈での収束解析に不可欠である。
• 一般化されたインフラ・スープ条件と新しい数学的道具を用いて、離散スキームの安定性と収束性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不適切に定式化された楕円型コーシー問題を安定かつ正確に解くためのプライマル・ダウル弱ガレルキン有限要素法を設計できるか？
• RQ2 提案手法が、正確な解が存在する場合にそれを満たす対称的で適切に定義された離散系を生成するか？
• RQ3 スケーリングされた残差ノルムにおける数値解の収束速度は何か？ これは最適次数に達するか？
• RQ4 $L^2$および$H^1$ノルムにおける手法の性能は如何であり、なぜ一部のケースでは収束速度が最適でないように見えるのか？
• RQ5 元のコーシー問題が不適切に定式化されているか解が存在しない場合でも、この手法が一意で収束する数値解を提供できるか？

主な発見

• 提案されたプライマル・ダウル弱ガレルキン有限要素法は、正確な解が存在する場合にそれを満たす、対称的で適切に定義された離散系を生成する。
• スケーリングされた残差ノルムにおいて、$\mathcal{O}(h)$の最適誤差推定が確立され、理論的収束速度が裏付けられる。
• 数値結果では、勾配の$L^2$ノルムにおいて約$\mathcal{O}(h)$、解の$L^2$ノルムにおいて$\mathcal{O}(h^2)$の収束速度が観測され、理論的期待と整合的である。
• スケーリングされた残差ノルム$|||e_h|||_{h,\Gamma_d}$において、$u_1 = \sin(x)\sin(y)$、$u_2 = \cos(x)\cos(y)$、$u_3 = \cos(x)\sin(y)$の複数のテストケースで$\mathcal{O}(h)$の収束速度が観察され、メッシュを細かくするに従い収束次数が1.0に近づく。
• 手法はロバストである：元の問題が不適切に定式化されているか解が存在しない場合でも、一意な数値解を生成する。
• 弱$L^2$収束は数学的に確立されているが、離散系の条件数の問題や不適切に定式化された性質のため、$L^2$および$H^1$ノルムではやや低下した収束速度が観測されることがある。