[論文レビュー] A Primal-Dual Weak Galerkin Finite Element Method for Fokker-Planck Type Equations

Chunmei Wang, Junping Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、滑らかでない拡散テンソルを有するFokker-Planck型方程式を解くためのプライマルデュアル弱ガラーキン（PD-WG）有限要素法を提案する。微分作用素は試験関数に作用させることで、正確な解に対する正則性要件を回避する。この手法は多角形メッシュ上での弱ヘッセ作用素と弱勾配作用素を用い、不連続解に対しても最適収束率を達成する。

ABSTRACT

This paper presents a primal-dual weak Galerkin (PD-WG) finite element method for a class of second order elliptic equations of Fokker-Planck type. The method is based on a variational form where all the derivatives are applied to the test functions so that no regularity is necessary for the exact solution of the model equation. The numerical scheme is designed by using locally constructed weak second order partial derivatives and the weak gradient commonly used in the weak Galerkin context. Optimal order of convergence is derived for the resulting numerical solutions. Numerical results are reported to demonstrate the performance of the numerical scheme.

研究の動機と目的

• 滑らかでないまたは不連続な拡散テンソルを有するFokker-Planck方程式を解く際の数値的課題に対処すること。
• 拡散テンソルに対する滑らかさ仮定を必要とする古典的有限要素法の制限を克服すること。
• 不連続解および低正則性データを有する問題に対して安定かつ収束するスキームを開発すること。
• 数値解における質量保存および非負性といった重要な物理的性質を保持すること。
• 最小限の正則性仮定の下で、提案手法の理論的収束解析を提供すること。

提案手法

• すべての微分作用素が試験関数に作用するプライマルデュアル弱ガラーキン変分形式としてFokker-Planck方程式を定式化すること。
• 拡散項における2階微分を処理するための弱ヘッセ作用素を導入し、非滑らか係数の取り扱いを可能にする。
• 対応する弱ガラーキンフレームワークに整合するように、対流項に対して弱勾配を用いる。
• メッシュ設計の柔軟性を高めるために、多角形分割上での分(piecewise)多項式を用いて有限要素空間を構築する。
• 整合性と安定性を確保するため、プライマル変数とデュアル変数を用いた混合形式を採用する。
• 特に非滑らかな問題に対して数値的安定性を向上させるために、安定化パラメータを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続な拡散テンソルを有するFokker-Planck方程式に対して、収束性を保つ有限要素法を開発できるか？
• RQ2 解の正則性を仮定しないプライマルデュアル弱ガラーキン形式が、最適収束率を維持できるか？
• RQ3 例えば拡散係数にジャンプ不連続性を有するような問題に対して、この手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ4 離散解において質量保存や非負性といった物理的性質を保持できるか？
• RQ5 さまざまなメッシュの細分化および異なる多項式近似に対して、この手法の収束挙動はいかなるものか？

主な発見

• 最適収束率が達成される：均等メッシュの細分化において、エネルギーノルムで2次、L2ノルムで2次（プライマル変数について）。
• 数値実験により、滑らかな解に対しても最適収束が確認され、エネルギー誤差およびL2誤差の収束次数が2に非常に近い値を示す。
• 不連続解を有する問題に対しても、正確な解が要素境界で不連続であっても、数値解は正確な解に非常に近い。
• 不連続な拡散テンソル（例えば、異なる部分領域で定数係数を有する）を有する問題に対しても、安定かつ正確に動作する。
• 非構造的多角形メッシュ上でも良好に動作し、複雑な幾何形状においても頑健で柔軟性に富んでいる。
• 正確な解が存在しない場合でも、10×10係数ケースの等高線図および表面図から示されるように、物理的に妥当な数値解が得られる。