[論文レビュー] A New Representation Theorem for Many-valued Modal Logics

Zoran Majkić|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、真理不変性帰結に基づく多値主義的モーダル論理のための新しい表現定理を提示し、代数的モデルとKripke的関係的構造との間の直接的な関係を確立する。完全分配的ラティスの結合的不可約要素を可能な世界として用いる、標準的かつ自己言及的なKripke意味論を提供し、その主要結果として、ベルナフの4値二重ラティス上でのパラ一貫的ファジィ論理および自己認識論理のコンパクト表現を達成する。

ABSTRACT

We propose a new definition of the representation theorem for many-valued logics, with modal operators as well, and define the stronger relationship between algebraic models of a given logic and relational structures used to define the Kripke possible-world semantics for it. Such a new framework offers a new semantics for many-valued logics based on the truth-invariance entailment. Consequently, it is substantially different from current definitions based on a matrix with a designated subset of logic values, used for the satisfaction relation, often difficult to fix. In the case when the many-valued modal logics are based on the set of truth-values that are complete distributive lattices we obtain a compact autoreferential Kripke-style canonical representation. The Kripke-style semantics for this subclass of modal logics have the joint-irreducible subset of the carrier set of many-valued algebras as set of possible worlds. A significant member of this subclass is the paraconsistent fuzzy logic extended by new logic values in order to also deal with incomplete and inconsistent information. This new theory is applied for the case of autoepistemic intuitionistic many-valued logic, based on Belnap's 4-valued bilattice, as a minimal extension of classical logic used to manage incomplete and inconsistent information as well.

研究の動機と目的

• 従来の行列ベースの意味論に依存する制限を克服する、多値主義的モーダル論理における表現定理の新しい枠組みを構築すること。
• 代数的モデルとKripke的関係的意味論との間のより強く、より直接的な対応関係を確立すること。
• 真理値が完全分配的ラティスを形成する多値主義的論理に対して、標準的かつ自己言及的なKripke表現を提供すること。
• 特にベルナフの4値二重ラティスを用いて、不完全かつ矛盾のある情報を扱うための、パラ一貫的論理およびファジィ論理への応用を実施すること。
• 二重ラティス双対性を用いて、自己認識的直感的多値論理の表現定理を示すこと。

提案手法

• 行列ベースのアプローチに代えて、指定された部分集合を用いる真理不変性帰結関係を意味論の基盤として提案する。
• 完全分配的ラティスにおける真理値の台集合上に、標準的パワー集合拡張代数を定義する。
• 真理値ラティスの結合的不可約要素（0を含む）の集合を、Kripkeフレームにおける可能な世界の集合として用いる。
• 真理順序と知識順序のラティス間の同型写像（例：ベルナフのD二重ラティス）を用いて、双対的表現を構築する。
• 単射準同型写像と同型写像を用いて、代数的モデル、真理順序、知識順序の表現を結ぶ可換図式を確立する。
• 同型写像をパワー集合へ拡張し、部分代数への還元を用いて、モーダル構造と帰結関係を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列意味論における任意の指定された真理値部分集合への依存を避けるために、多値主義的モーダル論理の表現定理をどのように再定式化できるか？
• RQ2 真理値が完全分配的ラティスを形成する多値主義的論理に対して、標準的Kripke的意味論はどのように定義されるか？
• RQ3 ベルナフの二重ラティスにおける真理順序と知識順序の双対性を、自己認識的直感的論理を表現するためにどのように利用できるか？
• RQ4 真理値の代数的構造から直接的に、コンパクトで自己言及的なKripkeモデルを構築できるか？
• RQ5 結合的不可約要素は、このような論理のKripkeモデルにおける可能な世界を形成する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された真理不変性意味論は、行列ベースの帰結とは顕著に異なる代替手段を提供し、真理値の指定された部分集合を固定する必要を排除する。
• 真理値が完全分配的ラティスを形成する多値主義的論理に対して、結合的不可約要素（0を含む）の集合を可能な世界として用いる、標準的Kripke的モデルが構築される。
• 得られたKripkeフレームは、元の多値主義的代数とモーダル演算子を備えた一意な部分代数に同型であり、意味論の保存が保証される。
• ベルナフの4値二重ラティスの同型写像による表現定理により、直感的自己認識論理が真理順序と知識順序の両方で双対的表現が可能になる。
• 定理5における可換図式により、代数的モデル、真理順序、知識順序の表現が、拡張された同型写像 $\partial_{\mathcal{P}}$ および還元 $\partial^{*}_{\mathcal{P}}$ を通じて同型であることが確認される。
• この枠組みにより、複雑な自然双対定理から得られる双対とは対照的に、Kripkeモデルの簡潔でコンパクトかつ自己言及的な記述が可能になる。