[論文レビュー] A new survey: Cone metric spaces

Suzana Aleksić, Zoran Kadelburg+2 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 158被引用数 13

ひとこと要約

この論文は錐度量化空間について包括的なサーベイを提供し、非正規で非固体な錐を用いた固定点問題の多くが、ミンコフスキー汎関数を用いて標準的距離空間における同等の問題に還元可能であることを示している。主な貢献は、固体な錐を正規な錐（正規定数1）に置き換える一般化された還元技法の確立であり、解析を単純化しつつも、根幹的な結果を保持するが、一部の問題は標準的距離に還元できないまま残っている。

ABSTRACT

The purpose of this new survey paper is, among other things, to collect in one place most of the articles on cone (abstract, K-metric) spaces, published after 2007. This list can be useful to young researchers trying to work in this part of functional and nonlinear analysis. On the other hand, the existing review papers on cone metric spaces are updated. The main contribution is the observation that it is usually redundant to treat the case when the underlying cone is solid and non-normal. Namely, using simple properties of cones and Minkowski functionals, it is shown that the problems can be usually reduced to the case when the cone is normal, even with the respective norm being monotone. Thus, we offer a synthesis of the respective fixed point problems arriving at the conclusion that they can be reduced to their standard metric counterparts. However, this does not mean that the whole theory of cone metric spaces is redundant, since some of the problems remain which cannot be treated in this way, which is also shown in the present article.

研究の動機と目的

• 2007年以降に発表された錐度量化空間に関する文献を統合・更新すること。
• 非正規で非固体な錐を扱う際の重複を解消し、それらが正規錐のケースに還元可能であることを示すこと。
• 錐度量化空間における固定点問題の多くが、標準的距離空間におけるそれらと同等であることを示すこと。
• 標準的距離に還元できない、錐度量化空間における根幹的な問題を特定・強調すること。
• 錐度量化空間およびK-度量化空間の既存理論枠組みを洗練・統合すること。

提案手法

• ミンコフスキー汎関数を用いて、非正規な錐を正規定数1の正規錐に変換すること。
• 順序付き位相線形空間の構造と、固体でない錐・固体な錐の役割を分析すること。
• 任意の位相線形空間内の固体錐が、ノルム空間内での固体で正規な錐に置き換え可能であることを証明すること。
• 半ノルムと凸集合の理論を応用し、錐度量化空間の位相を特徴付けること。
• 等価な標準的距離の構成を通じて、錐度量化空間の距離化可能性を確立すること。
• 正規・非正規、固体・非固体な錐の種類ごとに結果を比較・対比し、還元可能か否かのケースを特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正規な錐を用いた錐度量化空間における固定点結果は、標準的距離空間の結果に還元可能か？
• RQ2 非正規な錐を一般に正規な錐に置き換えても損失なく成立する条件は何か？
• RQ3 錐のどの構造的性質が、錐度量化問題を標準的距離問題に還元可能にするか？
• RQ4 錐度量化空間におけるどの固定点問題が、標準的距離に還元されないか？
• RQ5 ミンコフスキー汎関数は、位相線形空間内の錐構造の変換をどのように促進するか？

主な発見

• 固体な錐を用いた錐度量化空間における固定点問題の多くは、錐を正規定数1の正規錐に置き換えることで、標準的距離空間における同等の問題に還元可能である。
• ミンコフスキー汎関数の使用により、任意の固体錐を正規錐に変換でき、本質的な距離構造を保持することができる。
• 錐度量化空間の理論は完全に余分ではない。特に、特定の錐構造に依存する問題は、標準的距離に還元できない。
• 本論文は、錐度量化空間が距離化可能であることを確認しているが、これはすべての固定点結果が標準的距離結果と同等であるとは限らないことを示している。
• 分析から、錐の正規性の仮定はしばしば不要であることが明らかになった。非正規錐は関数的変換により正規錐に置き換え可能である。
• 本サーベイは300件を超える関連論文を特定・更新し、非線形解析および関数解析分野の研究者にとって包括的かつ最新の参考文献を提供している。