[論文レビュー] A new type of the Gronwall-Bellman inequality and its application to fractional stochastic differential equations

Qiong Wu|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非特異的および特異的積分型を統合する新しいグロニャル・ベルマン型不等式を導入し、$0<\alpha<1$ の順序を持つ分数階確率微分方程式（SDE）の解析を可能にする。二項関数およびガンマ関数・ミタグ・レフラー関数の性質を活用することで、解の存在および一意性を確立し、伊藤の公式を用いて分数階フォッカー・プランク・コルモゴロフ方程式を導出する。

ABSTRACT

This paper presents a new type of Gronwall-Bellman inequality, which arises from a class of integral equations with a mixture of nonsingular and singular integrals. The new idea is to use a binomial function to combine the known Gronwall-Bellman inequalities for integral equations having nonsingular integrals with those having singular integrals. Based on this new type of Gronwall-Bellman inequality, we investigate the existence and uniqueness of the solution to a fractional stochastic differential equation (SDE) with fractional order on (0, 1). This result generalizes the existence and uniqueness theorem related to fractional order (1/2 1) appearing in [1]. Finally, the fractional type Fokker-Planck-Kolmogorov equation associated to the solution of the fractional SDE is derived using It^o's formula.

研究の動機と目的

• 非特異的および特異的積分を組み合わせた分数階SDEに適用可能なグロニャル・ベルマン型不等式の不足を解消すること。
• 分数階確率力学における混合型積分方程式を扱う統一的な積分不等式フレームワークを構築すること。
• $0<\alpha<1$ の順序を持つ分数階SDEの解の存在および一意性を確立し、従来の $\frac{1}{2}<\alpha<1$ に限定された結果を拡張すること。
• 解の過程に伊藤の公式を適用し、条件付き期待値を取ることで、関連する分数階フォッカー・プランク・コルモゴロフ方程式を導出すること。

提案手法

• 非特異的および特異的積分に対する既知の不等式と二項関数を組み合わせることで、新しいグロニャル・ベルマン型不等式を提案する。
• 標準的およびリーマン・リウヴィル型特異積分を含む混合積分項を処理するための作用素 $B\phi(t)$ を定義する。
• 帰納法およびガンマ関数の恒等式を用いて、有界で非減少かつ非負の関数 $a(t)$, $b(t)$, $g(t)$ の下で不等式の妥当性を検証する。
• $u(t) \leq a(t) + \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} b^{n-i}(t) g^i(t) \frac{[\Gamma(\alpha)]^i}{\Gamma(i\alpha + n - i)} \int_0^t (t-s)^{i\alpha - (i+1-n)} a(s) \, ds$ の境界を確立する。
• 新しい不等式を応用し、縮小写像の議論を用いて分数階SDEの解の存在および一意性を証明する。
• 解過程に伊藤の公式を適用し、条件付き期待値を取ることで、記憶を持つフォワード・コルモゴロフ型方程式に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非特異的および特異的積分を併せ持つ積分方程式に対して、統一的なグロニャル・ベルマン型不等式を構築できるか？
• RQ2 新しい不等式は、$0<\alpha<1$ の分数階SDEの解の存在および一意性の証明を可能にするか？
• RQ3 混合順序ダイナミクスを有する分数階SDEの解の確率密度関数は、時間経過とともにどのように変化するか？
• RQ4 解の確率密度関数の時間発展を記述するフォッカー・プランク・コルモゴロフ方程式の形は何か？

主な発見

• 非特異的および特異的積分を併せ持つ積分方程式に対して、新しいグロニャル・ベルマン型不等式が確立され、単独で扱われてきたいずれのタイプに対しても一般化される。
• 不等式は、二項係数、ガンマ関数、および累乗核を持つ反復積分を含む $u(t)$ の明示的上界を与える。
• 新しい不等式と縮小写像原理を用いて、$0<\alpha<1$ の分数階SDEの解の存在および一意性が証明される。
• 分数階フォッカー・プランク・コルモゴロフ方程式は、 $\frac{\partial P^X}{\partial t} = A^*_1 P^X + \alpha \int_0^t (t-s)^{\alpha-1} A^*_2 P^X(s,x) \, ds$ として導出され、 $P^X(0,x) = \delta_{x_0}(x)$ を満たす。
• 方程式は、SDEのドリフトおよび拡散係数を組み込んだ空間的作用素 $A^*_x$ および $B^*_x$ を用いて表現される。
• 導出は、伊藤の公式、条件付き期待値、およびフビニの定理に依拠し、記憶を持つSDEをフォワード・コルモゴロフ型方程式に変換する。