[論文レビュー] A non-commutative, analytic version of Hilbert's 17-th problem in type II$_1$ von Neumann algebras

Florin Rădulescu|ArXiv.org|Apr 26, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、型II₁ von Neumann代数におけるヒルベルトの17番目の問題の非可換で解析的類似を確立し、すべての型II₁因子における表現において非負のトレースをとる対称的で解析的な非可換級数が、平方和の弱収束の極限と循環的に同値であることを証明している。主な結果は、この問題がコネス埋め込み予想と関連しており、このような級数に対して行列トレース不等式条件が成り立つことと同値であることを示している。

ABSTRACT

We prove a non-commutative version of the Hilbert's 17th problem, giving a characterization of the class of non-commutative polynomials in n-undeterminates that have positive trace when evaluated in n-selfadjoint elements in arbitrary II1 von Neumann algebra. As a corollary we prove that Connes's embedding conjecture is equivalent to a statement that can be formulated entirely in the context of finite matrices.

研究の動機と目的

• 型II₁ von Neumann代数の文脈において、ヒルベルトの17番目の問題の非可換で解析的版を確立すること。
• すべての型II₁因子における表現において非負のトレースを与える対称的で解析的な非可換級数を特徴づけること。
• このような級数が非可換解析的代数において、平方和の弱収束の極限と循環的に同値であることを示すこと。
• コネス埋め込み予想が、このような対称的で解析的な級数に対して行列トレース不等式条件と同値であることを証明すること。

提案手法

• すべての半径で収束するように係数の急速な減衰を満たす形式的級数として、$ \mathbb{C}_{\rm an}[Y_1,\ldots,Y_n] $ を定義する。
• $(a_I Y_I)^* = \overline{a_I} Y_{I^{\rm op}} $ を拡張する標準的自己準同型を導入し、自己随伴級数の実部分空間 $ \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $ を定義する。
• 循環的同値性を、$ Y_I - Y_{\tilde{I}} $ のスカラー倍の弱収束の差として定義する。ここで $ \tilde{I} $ は $ I $ の巡回置換である。
• 級数が平方和であるとは、$ b_s \in \mathbb{C}_{\rm an}[Y_1,\ldots,Y_n] $ である有限和 $ \sum_s b_s^* b_s $ の弱閉包にあることと定義する。
• GNS構成を用いて、モーメント列 $ (\theta_I)_{I \in \mathcal{I}_n} $ に循環的ベクトル $ Z_\Phi $ を関連付け、モーメントの循環的対称性が状態のユニタリ不変性を意味することを示す。
• 対称的で解析的な級数 $ p $ が、任意の型II₁因子 $ M $ におけるすべての自己随伴 $ X_i $ に対して $ \tau(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $ を満たすならば、$ p $ は平方和の弱収束の極限と循環的に同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的で解析的な非可換級数 $ p \in \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $ が、弱収束の極限の平方和と循環的に同値であるための条件は何か？
• RQ2 すべての型II₁ von Neumann代数において $ p(X_1,\ldots,X_n) $ のトレースの非負性は、その代数的構造とどのように関係するか？
• RQ3 コネス埋め込み予想を、解析的非可換多項式に対する行列トレース不等式のみで再定式化できるか？
• RQ4 型II₁因子のモーメント列と有限行列代数のモーメント列との正確な関係は何か？

主な発見

• すべての自己随伴 $ X_i $ と、任意の型II₁ von Neumann代数 $ M $ における忠実なトレース $ \tau $ に対して $ \tau(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $ を満たす対称的で解析的な非可換級数 $ p $ は、平方和の弱収束の極限と循環的に同値である。
• コネス埋め込み予想が成り立つための必要十分条件は、すべての自己随伴行列 $ X_i \in M_N(\mathbb{C}) $ に対して $ \mathop{\rm tr}(p(X_1,\ldots,X_n)) \geq 0 $ を満たす任意の対称的で解析的な級数 $ p \in \mathbb{C}_{\rm an}^{\rm sym}[Y_1,\ldots,Y_n] $ が、平方和の弱収束の極限と循環的に同値であるということである。
• 型II₁因子のモーメント列 $ (\theta_I)_{I \in \mathcal{I}_n} $ が、有限行列代数からのモーメント列の弱収束として現れるための必要十分条件は、列が循環的対称的で、一様な成長条件を満たすことである。
• 循環的対称的かつ急速に減衰するモーメント列にGNS構成を適用すると、忠実なトレースを持つ型II₁ von Neumann代数が得られ、関連するベクトルは循環的かつ分離的である。
• 有限行列代数からのモーメント列の集合が、型II₁因子からのモーメント列の集合において弱密であるための必要十分条件は、コネス埋め込み予想が成り立つことである。