[論文レビュー] A non-type (D) operator in c0

Orestes Bueno, B. F. Svaiter|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Banach空間 $c_0$ における型 (D) でない最大単調作用素の最初の既知の例を構成し、$ olimits\ell^1$ や $L^1$ の等長コピーを含む空間へのこのような作用素の制限に関する長年の予想を解決する。著者らは、$\ell^1$ 上のGossez作用素を活用し、$c_0$ 上に双対作用素を定義することで、$c_0$ が型 (D) でないことを証明し、さらに、等長コピーを含む任意のBanach空間に対しても型 (D) でない作用素が存在することを示す。

ABSTRACT

Previous examples of non-type (D) maximal monotone operators were restricted to $\ell^1$, $L^1$, and Banach spaces containing isometriccopies of these spaces. This fact led to the conjecture that non-type (D) operators were restricted to this class of Banach spaces. We present a linear non-type (D) operator in $c_0$.

研究の動機と目的

• 非反射的Banach空間が、$ olimits\ell^1$ または $L^1$ の等長コピーを含むものに限られるという予想を反証すること。
• $c_0$ 上で型 (D) でない最大単調作用素の具体的な例を構成すること。
• 型 (D) でない作用素の存在が、より大きなBanach空間への等長埋め込みによって保存されることを確立すること。

提案手法

• 線形的かつ連続的で反対称な作用素 $G: \ell^1 \to \ell^\infty$ を $G(x)_n = \sum_{i=n+1}^\infty x_i - \sum_{i=1}^{n-1} x_i$ により定義する。この作用素は、最大単調かつ単射であることが知られている。
• 作用素 $T: c_0 \rightrightarrows \ell^1$ を $T(x) = \{ y \in \ell^1 \mid -G(y) = x \}$ により定義する。これは点対点かつ $c_0$ 上で最大単調である。
• 作用素 $T$ が型 (D) でないことを示すために、そのGossez単調閉包 $\widetilde{T}$ が、$\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 強い位相において $\operatorname{Gr}(T)$ の有界ネットで近似できない点 $(x^{**}, x^*) \in X^{**} \times X^*$ を含むことを証明する。
• ある $\widetilde{y} \in \ell^1$ に対して $\langle \widetilde{y}, e \rangle > 0$ であるとし、双対の二重空間内にネット $\{x^\tau\}$ が存在し、$(x^\tau, \tau \widetilde{y}) \in \widetilde{T}$ となることを用いて、異なる拡張が存在することを示し、一意性の破れを示し、型 (D) でないことを示す。
• 一般拡張定理を適用し、$X$ が型 (D) でない作用素を含むならば、$X$ の等長コピーを含む任意のBanach空間 $\Omega$ に対しても同様の作用素が存在することを示す。
• 双対性 $c_0$ と $\ell^1$ の関係および双対空間の構造を用いて、構成された作用素 $T$ が型 (D) でないことを示すために必要な不等式を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等長コピーを含まない空間 $c_0$ において、型 (D) でない最大単調作用素が存在するか？
• RQ2 すべての非反射的空間が $ olimits\ell^1$-コピーを含まないならば型 (D) であるという予想は、特に $c_0$ に対して成り立つか？
• RQ3 型 (D) でない作用素の存在という性質は、より大きなBanach空間への等長埋め込みによって保存されるか？
• RQ4 非反射的空間において、Gossezの単調閉包が一意な最大単調拡張でないことがあるか？
• RQ5 双対空間の構造は、最大単調作用素が型 (D) であるかどうかを決定づける役割を果たすか？
• RQ6 非反射的Banach空間において、型 (D) でない作用素を体系的に構成する方法はあるか？

主な発見

• この論文は、$c_0 \rightrightarrows \ell^1$ における線形的かつ最大単調な作用素 $T$ を構成し、これが型 (D) でないことを示し、$c_0$ における型 (D) でない作用素の最初の例を提供する。
• $T$ は、$G$ が $\ell^1$ 上で知られている型 (D) でない作用素であることに基づき、$c_0$ の要素の $-G$ による逆像として定義される。
• $T$ が型 (D) でないことは、そのGossez単調閉包 $\widetilde{T}$ が、$\sigma(X^{**}, X^*) \times$ 強い位相において $\operatorname{Gr}(T)$ の有界ネットで近似できない点 $(x^{**}, x^*)$ を含むことから示される。
• ネット $\{x^\tau\}$ を用いて、$T$ が $\ell^\infty$ に複数の最大単調拡張を有することを示し、一意性の欠如を示し、型 (D) でないことを裏付ける。
• この論文は、$c_0$ の等長コピーを含む任意のBanach空間 $\Omega$ が、型 (D) でない最大単調作用素を含むことを証明し、$c_0$ そのものに限らない結果に拡張する。
• この結果により、非反射的空間が $ olimits\ell^1$-コピーを含まない（たとえば $c_0$ のように）としても、型 (D) でない作用素を含む可能性があることが示され、型 (D) であることが必然的ではないという予想が反証される。