[論文レビュー] A Nonseparably Connected Metric Space as a Dense Connected Graph

Michał Morayne, Michał Ryszard Wójcik|ArXiv.org|Nov 17, 2008

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ひとこと要約

本稿では、コーシーの関数方程式を満たす実数値関数の稠密で連結なグラフとして、非分離的につながっている距離空間を構成する。超限帰納法とノルム空間におけるハメル基底の構成を用い、サイズが 𝔠 であるノルム空間において、均一的で、どこにも局所的に連結でない空間を構築し、非自明な連結部分集合がすべて非分離的であることを示す。これにより、非分離的につながっている距離空間の新しい例が得られる。

ABSTRACT

We present a connected metric space that does not contain any nontrivial separable connected subspace. Our space is a dense connected graph of a function from the real line satisfying Cauchy's equation.

研究の動機と目的

• 非分離的につながっている距離空間（非自明な分離可能な連結部分集合をもたない連結空間）の新しい例を構成すること。
• そのような空間が、関数 f(x+u)=f(x)+f(u) を満たす関数のグラフとして得られることを示すこと。
• 空間が均一的であり、任意の点で局所的に連結でないこと、およびすべての点がカット点であること（任意の点 p∈M に対して M∖{p} が非連結であること）を示すこと。
• 関数のグラフが、サイズが 𝔠 である非分離的ノルム空間 Y に対して ℝ×Y で稠密かつ連結であることを確立すること。

提案手法

• 超限帰納法を用いて、ℝ×Y のすべての閉じた分離可能な部分集合のうち、ℝ への射影が非可算であるものと交わる関数 F: ℝ → Y を構成する。
• 基数制約に基づき、Lemma 1 を適用して、積空間内のすべての必要な閉じた分離可能な集合と交わることを保証する。
• ハメル基底を用いて Q-線形関数として F を構成し、それをコーシーの関数方程式 f(x+u)=f(x)+f(u) を満たすように拡張する。
• Lemma 2 を用いて、関数のグラフがすべての必要な閉じた分離可能な集合と交わることにより、X×Y における連結で稠密なグラフが得られることを証明する。
• ℝ×Y が T5 であり、分離可能な部分集合が恒等的に分離可能であることから、位相的連結性を保証する。
• 結果として得られる空間 M が加法に関して位相群であることを検証し、均一的であることと、すべての点がカット点であること（任意の点 p∈M に対して M∖{p} が非連結であること）を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーシーの関数方程式を満たす関数のグラフとして、非分離的につながっている距離空間を構成できるか？
• RQ2 そのような空間は、任意の点で局所的に連結でないことが必然的か？
• RQ3 サイズが 𝔠 であるノルム空間において、その構成を実行できるか。これにより、関数が加法的であり、グラフが稠密かつ連結であることを保証できるか？
• RQ4 完全な非分離的につながっている距離空間は存在するのか。それとも、そのような空間の構成には選択公理が必要なのか？
• RQ5 非分離的 Y に対して、コーシー関数的関数のグラフが ℝ×Y で同時に稠密かつ連結であることは可能か？

主な発見

• コーシーの関数方程式 f(x+u)=f(x)+f(u) を満たす関数 F: ℝ → l∞ のグラフは、ℝ×l∞ で稠密かつ連結である。
• 得られた距離空間 M は非分離的につながっている：非自明な連結部分集合はすべて非分離的である。
• M のすべての点はカット点である。つまり、任意の p∈M に対して M∖{p} は非連結である。
• 関数が至る所で不連続であるため、M は任意の点で局所的に連結でない。
• M は加法 (x,F(x))+(u,F(u))=(x+u,F(x+u)) に関して位相群であり、均一的である。
• 構成は選択公理に依存しており、ZF だけでは実行できない。これにより、そのような空間が ZF において存在するかは未解決の問題である。