[論文レビュー] A note on a free group. The decomposition of a free group functor through the category of heaps

Bernard Rybołowicz|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Geometric and Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、群からヒープを割り当てる関手の左随伴関手を導入し、自由群関手がヒープの圏を通じて分解されることを示している。具体的には、集合 X 上の自由ヒープとシングルトンヒープのコプロダクトを構成し、そのシングルトン要素におけるリトラクトを得ることで、自由群が得られることを示しており、従来の集合論的構成の代数的解釈を提供する。

ABSTRACT

This note aims to introduce a left adjoint functor to the functor which assigns a heap to a group. The adjunction is monadic. It is explained how one can decompose a free group functor through the previously introduced adjoint and employ it to describe a slightly different construction of free groups.

研究の動機と目的

• 群からヒープを割り当てる関手に対する左随伴関手を構成すること。
• 従来の集合論的構成（生成集合に逆元と単位元を直積で追加）を、ヒープを用いた代数的再解釈すること。
• 自由群関手がヒープの圏を通じた関手の合成として生じることを示すこと。
• 単位元と逆元が、ヒープのコプロダクトとリトラクトの文脈でどのように自然に生じるかを明確にすること。

提案手法

• 各ヒープ $H$ に対して、$\mathrm{Gr}_*(H) := G(H \sqcup \{\ast\}; \ast)$ と定義される群 $\mathrm{Gr}_*(H)$ を割り当てる関手 $\mathbf{Gr} : \mathbf{Heap} \to \mathbf{Grp}$ を定義する。ここで $G(H \sqcup \{\ast\}; \ast)$ は、$H$ とシングルトンヒープのコプロダクトの $\ast$-リトラクトである。
• ヒープ圏におけるコプロダクトの普遍性を用いて、$\mathrm{Grp}(\mathbf{Gr}(H), G)$ と $\mathbf{Heap}(H, H(G))$ の間に自然な同型を定義する。
• ヒープ圏における忘却関手 $U_{\mathbf{Heap}}$ が左随伴関手 $H : \mathbf{Set} \to \mathbf{Heap}$（自由ヒープ関手）を持つことを利用し、$\mathbf{Gr} \circ H$ を合成する。
• 随伴の普遍性を用いて、$\mathbf{Gr} \circ H$ が標準的な自由群関手 $G : \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ と自然同型であることを示す。
• ヒープ圏において $H(X \sqcup \{\ast\}) \cong H(X) \sqcup H(\{\ast\})$ が成り立つこと（$H$ がコプロダクトを保存する）を用いる。
• 集合 $X$ 上の自由群を、$X \sqcup \{\ast\}$ 上の自由ヒープの $\ast$-リトラクトとして構成する。ここで逆元は、自由ヒープに属する $w$ に対して $[\ast, w, \ast]$ として実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒープ化関手 $H: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Heap}$ に対する左随伴関手を構成できるか？
• RQ2 従来の自由群の構成を、ヒープを用いて代数的に再解釈できるか？
• RQ3 自由群関手はヒープの圏を通じた関手の合成として分解可能か？
• RQ4 コプロダクトとリトラクトの文脈において、単位元と逆元の代数的意味は何か？

主な発見

• 関手 $\mathbf{Gr} : \mathbf{Heap} \to \mathbf{Grp}$ が $\mathbf{Gr}(H) = G(H \sqcup \{\ast\}; \ast)$ と定義され、関手 $H: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Heap}$ の左随伴であることが示された。
• 関手 $H$ が同型を反映し、$H$-分裂平行対の余等化子を保存するため、随伴 $\mathbf{Gr} \dashv H$ はモナディックである。
• $\mathbf{Gr} \circ H : \mathbf{Set} \to \mathbf{Grp}$ が標準的な自由群関手 $G$ と同型であることが示され、自由群関手がヒープの圏を通じて因数分解されることを確立した。
• 任意の集合 $X$ に対して、$X$ 上の自由群は、ヒープ圏における $H(X) \sqcup \{\ast\}$ の $\ast$-リトラクトと同型である。すなわち、$G(X) \cong \mathbf{Gr}(H(X))$ が成り立つ。
• この構成において、単位元はシングルトンヒープ $\{\ast\}$ に対応し、逆元は自由ヒープ上に属する $w$ に対して $[\ast, w, \ast]$ として自然に生じる。
• この構成により、生成集合に逆元と単位元を直積で追加する従来の集合論的拡張の、コプロダクトとリトラクトの普遍性に基づく完全な代数的解釈が得られた。