[論文レビュー] A Note on Boolean Lattices and Farey Sequences II

Andrey O. Matveev|ArXiv.org|Jan 31, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、フェアレイ数列の部分列と、ブールラティスから導かれるフェアレイ部分数列の左半分および右半分の間で単調な全単写像を確立する。左半分列 $Δ(\mathbb{B}(n),m)$ は $\mathcal{F}_{n-m}^m$ に順序反転全単写像であり、右半分列は $\mathcal{F}_m^{n-m}$ に順序反転全単写像であることが証明され、フェアレイ部分数列構造とブールラティスのランクレベルの間に双対性が明らかになる。

ABSTRACT

We establish monotone bijections between subsequences of the Farey sequences and the halfsequences of Farey subsequences associated with elements of the Boolean lattices.

研究の動機と目的

• ラティスの要素に関連する部分列を分析することにより、フェアレイ数列とブールラティスの間の構造的関係を探索すること。
• 分数 $\leq 1/2$ および $\geq 1/2$ に対応する、フェアレイ部分数列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ の左半分列および右半分列を特徴づけること。
• これらの半分列と特定のフェアレイ部分数列 $\mathcal{F}_{n-m}^m$ および $\mathcal{F}_m^{n-m}$ の間で明示的な単調な全単写像を確立すること。
• 分数ベクトルへの行列変換を用いて、これらの写像が順序反転かつ全単写像であることを示すこと。
• 異なるランク条件下での $1/2$、$1/3$、$2/3$ などの重要な分数の隣接関係を明示的な公式で与えること。

提案手法

• ラティス関連の部分列を定義するために、フェアレイ部分数列 $\mathcal{F}_n^m = \{ \frac{h}{k} \in \mathcal{F}_n : h \leq m \}$ および $\mathcal{G}_n^m = \{ \frac{h}{k} \in \mathcal{F}_n : k - h \leq n - m \}$ を用いる。
• $\mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ を、$b \in \mathbb{B}(n)$、$\rho(b) > 0$、$\rho(a) = m$ を満たす $b$ に対して、$\{ \frac{\rho(b \wedge a)}{\gcd(\rho(b \wedge a), \rho(b))} / \frac{\rho(b)}{\gcd(\rho(b \wedge a), \rho(b))} \}$ として定義し、ラティスのランクを分数構造に関連付ける。
• 分数 $\frac{h}{k}$ を $\frac{k-h}{k}$ に写像する行列変換 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を適用し、順序反転全単写像を誘導する。
• 行列 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ を用いた写像 $\frac{h}{k} \mapsto \frac{2h - k}{3h - k}$ を導入し、$\mathcal{F}^{\geq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ と $\mathcal{F}^{\leq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ の間の関係を示し、単射性と順序保存性を証明する。
• カーディナリティの計算に、モービウス関数 $\overline{\mu}(d)$ とオイラーのトゥータント関数 $\phi(h;[i,l])$ を用いる。
• $\mathcal{F}_{n-m}^m \to \mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ および $\mathcal{F}_m^{n-m} \to \mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ の複合写像を用いて、全単写像性と単調性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェアレイ部分数列 $\mathcal{F}_{n-m}^m$ と $\mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ の左半分列の間に単調な全単写像が存在するか？
• RQ2 フェアレイ部分数列 $\mathcal{F}_m^{n-m}$ と $\mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ の右半分列の間に単調な全単写像が存在するか？
• RQ3 異なるランク条件下で、$1/2$、$1/3$、$2/3$ などの重要な分数の隣接関係は $\mathcal{F}(\mathbb{B}(n),m)$ 内でどのように振る舞うか？
• RQ4 行列変換 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ は、フェアレイ部分数列間の順序反転全単写像を誘導するために果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathcal{G}_n^m$ のカーディナリティは、モービウス関数とトゥータント関数の和を用いて表現可能であり、$\mathcal{F}_n^{n-m}$ とどのように関係するか？

主な発見

• 左半分列 $\mathcal{F}^{\leq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ は、行列 $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ を用いた写像 $\frac{h}{k} \mapsto \frac{k-h}{k}$ により $\mathcal{F}_{n-m}^m$ に順序反転全単写像である。
• 右半分列 $\mathcal{F}^{\geq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ は、同じ行列変換により $\mathcal{F}_m^{n-m}$ に順序反転全単写像である。
• 写像 $\frac{h}{k} \mapsto \frac{2h-k}{3h-k}$ は、行列 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ を用いて $\mathcal{F}^{\geq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ から $\mathcal{F}^{\leq 1/2}(\mathbb{B}(n),m)$ への順序保存かつ単射写像である。
• $\mathcal{G}_n^m$ のカーディナリティは、$1 + \sum_{d \geq 1} \overline{\mu}(d) \cdot \left( \left\lfloor \frac{n}{d} \right\rfloor - \frac{1}{2} \left\lfloor \frac{n-m}{d} \right\rfloor \right) \cdot \left\lfloor \frac{n-m}{d} + 1 \right\rfloor$ で与えられ、モービウス関数およびトゥータント関数と関連づけられる。
• $m > n/2$ のとき、分数 $\frac{n-m-1}{2(n-m)-1}$ は $1/2$ の直前であり、$\frac{n-m+1}{2(n-m)+1}$ は $1/2$ の直後である。同様の隣接公式が、$n-m$ の偶奇および大きさに応じて $1/3$ および $2/3$ に対しても導出される。
• $m < n/2$ のとき、分数 $\frac{m}{2m+1}$ は $1/2$ の直前であり、$\frac{m}{2m-1}$ は $1/2$ の直後である。$m$ の偶奇および大きさに応じて、$1/3$ および $2/3$ に対しても同様の隣接表現が得られる。