[論文レビュー] A note on compact Kähler-Ricci flow with positive bisectional curvature

Huai-Dong Cao, Meng Zhu|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初期に正の双断面曲率をもつコンパクトなケーラー・リッチフローに対して、全空間で一様な正の下界が双断面曲率に存在することを確立し、有界なマブーチ・Kエネルギーという仮定よりも弱い条件であるFutaki不変量の消滅を仮定することで、指数的 $C^\infty$ 収束がKähler-Einstein計量へ成立することを証明する。この結果は、主要なエネルギー条件を緩和することで、従来の収束定理を強化するものである。

ABSTRACT

We show that for any solution to the Kähler-Ricci flow with positive bisectional curvature on a compact Kähler manifold $M^n$, the bisectional curvature has a uniform positive lower bound. As a consequence, the solution converges exponentially fast to an Kähler-Einstein metric with positive bisectional curvature as t tends to the infinity, provided we assume the Futaki-invariant of $M^n$ is zero. This improves a result of D. Phong, J. Song, J. Sturm and B. Weinkove in which they assumed the stronger condition that Mabuchi K-energy is bounded from below.

研究の動機と目的

• 初期に正の双断面曲率をもつコンパクトなケーラー多様体上の正規化されたケーラー・リッチフローに対して、全空間で一様な正の下界がホロモルフィック双断面曲率に存在することを確立すること。
• マブーチ・Kエネルギーの有界性という仮定をFutaki不変量の消滅というより弱い仮定に緩和することで、ケーラー・リッチフローの収束結果を改善すること。
• Futaki不変量が消えるという条件下で、フローが指数的 $C^\infty$ に正の双断面曲率をもつKähler-Einstein計量へ収束することを示すこと。
• 極限計量が複素射影空間 $\mathbb{C}P^n$ とホロモルフィックに同型であり、Fubini-Study計量と一致することを示すこと。

提案手法

• ハミルトンのコンパクトネス定理に基づく背理法を用いて、リッチ曲率の全空間での一様な下界を導出する。
• H.-L. Guの、非負の双断面曲率をもつケーラー計量に関する結果を応用し、リッチ曲率が消える収縮ソリトンが存在しないことを排除する。
• Brendle-Schoenによる非退化放物型作用素の最大原理とChen-Sun-Tianの補題を用いて、曲率の時間発展を制御する。
• リッチ曲率と計量を含む修正された曲率テンソル $S_{i\bar{j}k\bar{l}}(t)$ に対して最大原理を適用し、双断面曲率の下界を導出する。
• スケーリングされた極限フローの極限が、非負の双断面曲率をもつ勾配収縮ケーラー・リッチソリトンに収束することに依存する。
• 双断面曲率の全空間での一様な下界とPhong-Song-Sturm-Weinkoveの結果を組み合わせることで、Futaki不変量の消滅のもとで指数的 $C^\infty$ 収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期に正の双断面曲率をもつコンパクトなケーラー多様体上の正規化されたケーラー・リッチフローに対して、ホロモルフィック双断面曲率に一様な正の下界を確立できるか？
• RQ2 マブーチ・Kエネルギーの有界性という仮定よりも弱いFutaki不変量の消滅という条件下で、ケーラー・リッチフローは指数的 $C^\infty$ にKähler-Einstein計量へ収束するか？
• RQ3 双断面曲率が一様に下から有界で正であれば、極限Kähler-Einstein計量は必然的に一定のホロモルフィック断面曲率をもつのか？
• RQ4 標準的な反応型常微分方程式系が下界を保存しないという事実にもかかわらず、最大原理の技法を用いてケーラー・リッチフローの曲率ピンチング挙動を制御できるか？
• RQ5 作用素 $L = -g^{i\bar{j}}\nabla_i\nabla_{\bar{j}}$ の最小の正の固有値 $\lambda$ は、ケーラー・リッチフローの収束ダイナミクスにおいて果たす役割は何か？

主な発見

• すべての $t \geq 0$ に対して、ホロモルフィック双断面曲率 $R_{i\bar{i}j\bar{j}}(t)$ は正の定数 $C_1 > 0$ で一様に下から有界である。
• リッチ曲率 $R_{i\bar{j}}(t)$ は、計量 $g_{i\bar{j}}(t)$ の正の定数倍で一様に下から有界であり、すなわち $R_{i\bar{j}}(t) > C g_{i\bar{j}}(t)$ が成り立つ。
• 作用素 $L = -g^{i\bar{j}}\nabla_i\nabla_{\bar{j}}$ の最小の正の固有値 $\lambda$ は、すべての $t \geq 0$ に対して正の定数 $C_2 > 0$ で一様に下から有界である。
• Futaki不変量が消えるという仮定のもとで、ケーラー・リッチフローは $C^\infty$ ノルムにおいて指数的 $C^\infty$ にKähler-Einstein計量へ収束する。
• 極限Kähler-Einstein計量は正の双断面曲率をもち、したがって一定のホロモルフィック断面曲率をもつ。
• 多様体 $M^n$ は $\mathbb{C}P^n$ とホロモルフィックに同型であり、極限計量はFubini-Study計量である。