[論文レビュー] A note on directly Riemann integrable functions

Francesco Caravenna|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、やや強いモーメント条件および $ L^p $-有界性を満たす Lebesgue 可積分関数 $ f $ に対して、ある $ k $ 重の畳み込み $ f^{*k} $ が直接リーマン可積分（d.R.i.）であることを確立する。主な結果として、十分に大きな $ k $ に対して $ (1+|x|^{ u})f^{*k}(x) $ が有界で連続的かつ d.R.i. であることが示され、再生理論や局所中心極限定理への応用が可能になる。

ABSTRACT

A non-negative function f, defined on the real line or on a half-line, is said to be directly Riemann integrable (d.R.i.) if the upper and lower Riemann sums of f over the whole (unbounded) domain converge to the same finite limit, as the mesh of the partition vanishes. In this note we show that, for a Lebesgue-integrable function f, very mild conditions are enough to ensure that some n-fold convolution of f with itself is d.R.i.. Applications to renewal theory and to local limit theorems are discussed.

研究の動機と目的

• 繰り返し畳み込みが直接リーマン可積分性を満たす最小の条件を特定すること。
• 一般の $ L^1 $ 関数と再生理論や局所中心極限定理において重要な役割を果たす直接リーマン可積分関数のクラスとの間のギャップを埋めること。
• $ f $ 自身が d.R.i. でない場合でも、$ k $ が十分に大きいとき $ f^{*k} $ が d.R.i. であることを保証する実用的な基準を提供すること。
• ある畳み込みの $ L^p $-有界性と、$ \varepsilon $-モーメントの有限性が組み合わさることで、高階の畳み込みが d.R.i. となることを示すこと。
• 重たい尾を持つ非格子型再生過程に対して d.R.i. 技法を適用する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 非有界分割における上・下リーマン和の収束に基づく直接リーマン可積分性の定義を用いる。
• ホルダーの不等式と反復畳み込みの推定を用い、$ f_{2^k} \in L^1 \cap L^{p^{2^k}} $ を示し、フーリエ変換の性質により $ \widehat{f} \in L^{2^{k+1}} $ を得る。
• 上リーマン和 $ S^{g_k}_1(0) $ に対してブートストラップ法を適用し、$ g_k(x) = (1+|x|^\varepsilon)|f_k(x)| $ として、有限性が畳み込みの各段階にわたって伝播することを示す。
• 畳み込み推定における成長を制御するため、不等式 $ (a+b)^\varepsilon \leq 2^\varepsilon(a^\varepsilon + b^\varepsilon) $ を用いる。
• 異なるメッシュサイズ間のリーマン和を比較するため、関係式 $ S^g_\delta(x) \leq (1 + 2\delta/\delta') S^g_{\delta'}(x') $ を用いる。
• 仮定のもとで、$ k $ が十分に大きいとき $ f_k $ が有界かつ連続的であり、かつ $ (1+|x|^\varepsilon)f_k(x) $ が d.R.i. であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ L^1 $ 関数 $ f $ に対して、どの程度の条件下で、ある畳み込み $ f^{*k} $ が直接リーマン可積分性を満たすか。
• RQ2 $ \int |x|^\varepsilon |f(x)| dx < \infty $ および $ f^{*k_0} \in L^\infty $ のようなモーメント条件と $ L^p $-有界性が、d.R.i. 性質を保証するためにどのように作用するか。
• RQ3 $ f $ 自身が d.R.i. でない場合でも、畳み込みの過程で d.R.i. 性質が継承可能か。
• RQ4 再生過程や局所中心極限定理の文脈において、関数が d.R.i. であるために必要な最小の正則性は何か。
• RQ5 フーリエ変換を用いて、主結果の主要仮定である畳み込みの $ L^p $-有界性を特徴づける方法は何か。

主な発見

• 任意の $ f \in L^1(\mathbb{R}) $ に対して、$ f^{*k_0} \in L^\infty $ かつ $ \int |x|^\varepsilon |f(x)| dx < \infty $ を満たす $ \varepsilon > 0 $ が存在するとき、ある $ k_1 \in \mathbb{N} $ が存在し、すべての $ k \geq k_1 $ に対して $ f^{*k} $ は有界で連続的かつ直接リーマン可積分である。
• すべての $ k \geq k_1 $ に対して、関数 $ x \mapsto (1+|x|^\varepsilon)f_k(x) $ は有界かつ連続的であり、これにより可積分性と正則性が保証される。
• $ k \geq k_1 $ のとき、$ f_k $ の上リーマン和と下リーマン和はメッシュサイズ $ \delta \to 0 $ の極限で同じ有限値に収束するため、d.R.i. の定義を満たす。
• $ f \in L^1 \cap L^p $（$ p > 1 $）であると、$ f^{*k_0} \in L^\infty $ が導かれるため、$ L^p $-有界性の仮定は多くの場合で実際に検証可能である。
• $ f $ 自身が d.R.i. でない場合でも、本結果は成り立つ。例として、$ f(x) = \frac{1}{x(\log x)^2} \mathbf{1}_{[e,\infty)}(x) $ は $ L^1 $ に属するが、モーメント条件を満たさない。
• 証明では、上リーマン和 $ S^{g_k}_1(0) $ に対するブートストラップ法を用い、ある $ k $ で有限性が成立すれば、それより大きなすべての $ k $ に対しても有限性が保証されることを示している。これは線形再帰不等式に基づく。