[論文レビュー] A note on dyadic coverings and nondoubling Calder\'on-Zygmund theory

Jose M. Conde|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$ℝ^n$ 内のすべてのユークリッド球が直径がその球の直径の $c_n$ 倍以内の立方体に含まれるような、$n+1$ 個の二分木的フィルトレーションの最適族を構成する。この被覆を用いて、ベシコビッチ被覆に依存しない、非二重測度に対する二分木的 Calderón-Zygmund 分解を構築し、Hytönen-Kairema の被覆を用いて上二重測度空間へと拡張する。

ABSTRACT

We construct a family of n+1 dyadic filtrations in R^n, so that every Euclidean ball B is contained in some cube Q of our family satisfying diam(Q) \\le c_n diam(B) for some dimensional constant c_n. Our dyadic covering is optimal on the number of filtrations and improves previous results of Christ and Garnett/Jones by extending a construction of Mei for the n-torus. Based on this covering and motivated by applications to matrix-valued functions, we provide a dyadic nondoubling Calder\\'on-Zygmund decomposition which avoids Besicovitch type coverings in Tolsa's decomposition. We also use a recent result of Hyt\\"onen and Kairema to extend our dyadic nondoubling decomposition to the more general setting of upper doubling metric spaces.

研究の動機と目的

• すべてのユークリッド球が直径が自身の直径の $c_n$ 倍以内の立方体に含まれるような、$ℝ^n$ 内の $n+1$ 個の二分木的フィルトレーションの族を構成すること。
• Besicovitch 型被覆に依存しない、非二重測度の二分木的 Calderón-Zygmund 分解を提供すること。これは行列値関数への応用を念頭に置いたものである。
• Hytönen と Kairema の被覆結果を用いて、上二重測度空間というより一般的な設定へと二分木的分解を拡張すること。
• 多項式的および上二重測度条件の下で、Calderón-Zygmund 箇筒の弱型 $(1,1)$ 有界性を確立すること。

提案手法

• 標準的な二分木グリッドを ${0,1\u007d^n$ 内のベクトルによるシフトによって $n+1$ 個の二分木的フィルトレーションを構成し、すべての球が直径が自身の $c_n$ 倍以内の立方体に含まれることを保証する。
• 最大関数 $\mathcal{M}_{\mathcal{A},\mu}f(x) = \sup_{x\in Q\in\mathcal{A}} \frac{1}{\mu(2Q)}\int_Q |f|\,d\mu$ を用いて、レベル集合 $\Omega_{\mathcal{A},\mu}^\lambda$ を最大の立方体 $Q_j$ のほぼ互いに素な和集合として定義する。
• 各 $R_j \in \mathcal{A}$ 上に台を持つ関数 $\varphi_j$ を定義し、$3Q_j \subset R_j$ を満たし、$\|\varphi_j\|_\infty \lesssim \frac{1}{\mu(R_j)}\int_{Q_j} f\,d\mu$ および $\|\sum_j \varphi_j\|_\infty \lesssim \lambda$ を満たすようにする。
• 積分条件 $\int \varphi_j\,d\mu = \int_{Q_j} f w_j\,d\mu \sim \int_{Q_j} f\,d\mu$ を満たすようにし、$w_j = \chi_{Q_j}/\sum_k \chi_{Q_k}$ を用いて、$f = g + b$ の分解を可能にする。
• 上二重測度空間への適応では、Hytönen と Kairema の被覆を用い、立方体 $Q_{jk}^m$ が $B(z_{jk},\delta^k) \subset Q_{jk}^m \subset 48B(z_{jk},\delta^k)$ を満たし、$K(n,\delta)$ 個のフィルトレーションに分割されることを仮定する。
• レベル集合と最大の立方体 $Q_j$ を定義するために、修正された最大関数 $\mathcal{M}_{\mathcal{A},\mu}f(x) = \sup_{x\in Q\in\mathcal{A}} \sup_{B\subset Q\subset C_\delta B} \frac{1}{\mu(2C_\delta B)}\int_Q |f|\,d\mu$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^n$ の二分木被覆を、$n+1$ 個のフィルトレーションのみを用いて構成可能か？ その際、すべての球が直径が自身の $c_n$ 倍以内の立方体に含まれる。
• RQ2 非二重測度の設定において、Besicovitch や Vitali の被覆に依存しない二分木的 Calderón-Zygmund 分解を定式化可能か？
• RQ3 Hytönen-Kairema の被覆結果のようなものを使って、有限個のフィルトレーションと組み合わせて、上二重測度空間へと二分木的分解を拡張可能か？
• RQ4 任意の測度空間において、すべての球が直径が制御された立方体に含まれるような、最小のフィルトレーション数は何か？

主な発見

• この論文は、$ℝ^n$ 内に $n+1$ 個の二分木的フィルトレーションを構成し、任意のユークリッド球 $B$ が、その族の立方体 $Q$ に含まれるようなもので、$\mathrm{diam}(Q) \leq c_n \mathrm{diam}(B)$ を満たす。このフィルトレーション数は最適である。
• 二分木的被覆により、Besicovitch 型被覆に依存しない Calderón-Zygmund 分解が可能となり、非二重理論への新しいアプローチを提供する。
• 多項式的成長 $\mu(B(x,r)) \leq c_\mu r^k$ を持つ測度に対して、$f = g + b$ の分解が得られ、$g = f\chi_{\mathbb{R}^n \setminus \cup Q_j} + \sum_j \varphi_j$ および $b = \sum_j (f w_j - \varphi_j)$ であり、$\|\sum_j \varphi_j\|_\infty \lesssim \lambda$ を満たす。
• Hytönen と Kairema の被覆を用いて、上二重測度空間への拡張が可能であり、$K(n,\delta) \lesssim (4/\delta)^{3n}$ 個のフィルトレーションを必要とするが、論文ではこの境界は最適でない可能性があると示唆している。
• この構成により、標準的な核条件を満たし、$L_2(\mu)$ 上で有界である Calderón-Zygmund 箇筒の弱型 $(1,1)$ 有界性が、多項式的または上二重測度仮定の下で保証される。
• $(\alpha,\beta)$-二重立方体 $R_j$ が $3C_\delta B_j \subset R_j$ かつ $B_j$ が $Q_j$ に含まれるように存在し、$α,\beta$ は $C_\delta$ のみに依存する。これにより、所望の $L^\infty$ および積分的境界を持つ $\varphi_j$ の構成が可能になる。