[論文レビュー] A note on Fourier-Mukai transform

Kōta Yoshioka|ArXiv.org|Dec 24, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、アーベル面およびK3面におけるフーリエ＝ムカイ変換の安定性保存性を調査し、$μ$-安定なベクトル bundle に対しても、一般には $μ$-安定性が保存されないことを示している。アーベル面上のピカード bundle およびK3面上の例を用いて明示的な反例を構成するとともに、大きな twist に対して安定性が保存される条件を確立し、フーリエ＝ムカイ変換によってモジュライ空間が双正則同値であることを証明し、$\rho(X) = 1$ の場合に以前の研究における予想を確認した。結果は、ムカイ格子上の $SL(2,\mathbb{Z})$ の作用に関連している。

ABSTRACT

In this note, we consider the problem on the preservation of stability under the Fourier-Mukai transforms. We first show that the Fourier-Mukai transform on an abelian surface or a K3 surface does not always preserve the stability, even for a $μ$-stable vector bundle. We next provide some positive results on this problem. Finally we discuss the birational map of moduli spaces on an abelian surface.

研究の動機と目的

• アーベル面およびK3面上の層の安定性がフーリエ＝ムカイ変換によって保存されるかどうかを調査すること。
• アーベル面およびK3面上の $\mu$-安定なベクトル bundle に対しても、$\mu$-安定性がフーリエ＝ムカイ変換によって保存されない明示的な反例を構成すること。
• 特に層の大きな twist に対して、フーリエ＝ムカイ変換が安定性を保存する条件を確立すること。
• アーベル面上の $\rho(X) = 1$ の場合に、ピカード bundle によって誘導されるフーリエ＝ムカイ変換が、モジュライ空間に双正則対応を誘導することを証明し、先行研究における予想を確認すること。

提案手法

• 固定された $\mathcal{E} \in \mathbf{D}(X \times Y)$ を用いて、$\mathcal{F}_{\mathcal{E}}: \mathbf{D}(X) \to \mathbf{D}(Y)$ を $\mathcal{F}_{\mathcal{E}}(E) = \mathbf{R}p_{Y*}(p_X^*E \otimes \mathcal{E})$ で定義するフーリエ＝ムカイ関手を用いる。
• 固定された $G \in K(X) \otimes \mathbb{Q}$ で $\operatorname{rk} G > 0$ となるものを用い、$G$-twisted のランク、次数、オイラー標数を定義することで、ねじれた安定性条件を適用する。
• ムカイ格子 $H^{ev}(X,\mathbb{Z})$ におけるムカイベクトル $v(E) = \operatorname{ch}(E)\sqrt{\operatorname{td}_X}$ を用いて、安定性および双正則性を分析する。
• ハーダー＝ナラシマン分解を用い、$\mu_{\max,G}(E)$ および $\mu_{\min,G}(E)$ を定義することで、変換下での安定性の挙動を分析する。
• 弱いインデックス定理を適用し、$R^i p_{Y*}(p_X^*(E(mH)) \otimes \mathcal{E}) = 0$ ($i > 0$) となるような $m$ の有効な上限を導出することで、変換が導来カテゴリ－の層に値をとることを保証する。
• ピカード bundle および標準的極小化により誘導されるムカイ格子上の $SL(2,\mathbb{Z})$ の作用を活用し、モジュライ空間の双正則同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル面またはK3面上のベクトル bundle に対して、フーリエ＝ムカイ変換が常に $μ$-安定性を保存するか？
• RQ2 明示的な反例を構成できるか？ すなわち、$\mu$-安定なベクトル bundle がフーリエ＝ムカイ変換によって非安定な層に写される場合があるか？
• RQ3 特に層の大きな twist に対して、フーリエ＝ムカイ変換が安定性を保存する条件は何か？
• RQ4 アーベル面上で $\rho(X) = 1$ のとき、ピカード bundle によって誘導されるモジュライ空間間の双正則対応は、先行研究における予想どおり実際に実現されるか？
• RQ5 ムカイ格子上の $SL(2,\mathbb{Z})$ の作用は、層のモジュライ空間の双正則同値性とどのように関係するか？

主な発見

• フーリエ＝ムカイ変換は一般に $μ$-安定性を保存しない。これは、アーベル面およびK3面上で明示的な反例によって示された。
• アーベル面上で $\rho(X) = 1$ のとき、ピカード bundle によって誘導されるフーリエ＝ムカイ変換は、$a > 0$ のとき $\overline{M}_H(r + dH + a\varrho_X)$ と $\overline{M}_{\widehat{H}}(a + d\widehat{H} + r\varrho_{\widehat{X}})$ の間で双正則写像を誘導し、$a \leq 0$ のとき $\overline{M}_{\widehat{H}}(-a + d\widehat{H} - r\varrho_{\widehat{X}})$ に写す。これは [Y3] における予想を確認する。
• ムカイベクトル $v = r + dH + a\varrho_X$ で $r, d > 0$ のとき、モジュライ空間 $\overline{M}_H(v)$ は $\overline{M}_{\widehat{H}}(\mathcal{F}_{\mathcal{P}}(v))$ と双正則同値である。これは、変換下での一般の双正則同値性を確立する。
• $r > 0$ のとき、モジュライ空間 $\overline{M}_H(r + dH + a\varrho_X)$ は $\overline{M}_H(r - dH + a\varrho_X)$ と双正則同値である。これは $\mathcal{O}_X(-2dH/r)$ とのテンソル積による変換、または $\mu$-安定バンドル双対性による。
• $r, b > 0$ のとき、変換 $\mathcal{G}_{\mathcal{P}}$ は $\overline{M}_H(r - b\varrho_X) \to \overline{M}_{\widehat{H}}(b - r\varrho_{\widehat{X}})$ に同型写像を誘導する。これは特別な場合における強い双正則制御を示す。
• ピカード bundle による $SL(2,\mathbb{Z})$ の作用により、$H^*(X,\mathbb{Z})_{\text{alg}}$ 上で $\overline{M}_H(v)$ は任意の $g \in SL(2,\mathbb{Z})$ に対して $\overline{M}_H(g(v))$ と双正則同値である。これは $(X,H)$ が $\operatorname{NS}(X) = \mathbb{Z}$ を満たす主極小化アーベル面の場合に成立する。