[論文レビュー] A Note on Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Advanced Graph Theory Research被引用数 2

ひとこと要約

本稿はグラフ理論における整数加法的集合インデクサ（IASI）を調査し、辺の集合ラベルのサイズが接続頂点のラベルサイズの最大値または積に従う弱および強IASIに焦点を当てる。主な貢献は、グラフが弱または強IASIを有するための条件を同定することであり、IASIグラフの構造的性質およびラベル付け特性に関する洞察を提供する。

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a {\em weak IASI} if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a {\em strong IASI} if $|g_f(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we study about certain characteristics of inter additive set-indexers.

研究の動機と目的

• 整数加法的集合インデクサ（IASI）の構造的性質を調査すること。
• 辺ラベルサイズが頂点ラベルサイズに対して最大値または積に従う基準に基づき、弱および強IASIを定義し分析すること。
• 特に集合ラベルの基数に基づいて、弱または強IASIを許容するグラフを同定すること。
• 弱および強ラベル付け制約下で、グラフがIASIグラフであるための必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 頂点に非負整数の部分集合を割り当てる単射関数 f: V(G) → 2^ℕ₀ を IASI として定義すること。
• 各辺 uv に対して f(u) + f(v) の和集合により、辺ラベル関数 g_f: E(G) → 2^ℕ₀ を誘導すること。
• |g_f(uv)| = max(|f(u)|, |f(v)|) である場合を弱とし、|g_f(uv)| = |f(u)| · |f(v)| である場合を強と分類すること。
• これらの条件が辺ラベル関数 g_f の単射性に与える影響を分析すること。
• 対称差および和集合演算を用いて、辺を介した集合ラベルの伝播をモデル化すること。
• ラベル集合サイズの組合せ的解析を通じて、グラフ論的制約を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下でグラフが弱整数加法的集合インデクサを許容するか？
• RQ2 どの条件下でグラフが強整数加法的集合インデクサを許容するか？
• RQ3 頂点集合ラベルの基数が、IASIにおける辺集合ラベルの基数にどのように影響を与えるか？
• RQ4 弱または強IASIをサポートするグラフにどのような構造的性質が現れるか？

主な発見

• グラフが弱IASIを許容するための必要十分条件は、隣接頂点のラベルが |f(u) + f(v)| = max(|f(u)|, |f(v)|) を満たすことである。
• グラフが強IASIを許容するための必要十分条件は、すべての辺 uv に対して |f(u) + f(v)| = |f(u)| · |f(v)| が成り立つことである。
• 弱および強IASI条件の下で、辺ラベル関数 g_f の単射性が保たれる。
• 弱または強IASIの存在は、頂点集合ラベルのラベリングおよびそれらの和集合演算による相互作用に厳密な制約を課す。