[論文レビュー] On Arithmetic Integer Additive Set-Indexers of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、グラフ理論における算術的整数加法的集合指数化（AIASI）を導入し、調査する。AIASIは、頂点ラベルが非負整数の部分集合である特殊なタイプの整数加法的集合指数化（IASI）であり、辺ラベルは集合加法によって形成される。主な貢献は、グラフがAIASIを有するための条件を確立し、そのラベル付けを可能にするグラフ族（例えば、分割や結合）を同定することであり、IASIグラフ理論に算術的構造を拡張するものである。

ABSTRACT

A set-indexer of a graph $G$ is an injective set-valued function $f:V(G) ightarrow2^{X}$ such that the function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow2^{X}-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus} f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective, where $2^{X}$ is the set of all subsets of $X$ and $\oplus$ is the symmetric difference of sets. An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $f^+:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. A graph $G$ which admits an IASI is called an IASI graph. An IASI $f$ is said to be a weak IASI if $|f^+(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|)$ and an IASI $f$ is said to be a strong IASI if $|f^+(uv)|=|f(u)| |f(v)|$ for all $u,v\in V(G)$. In this paper, we discuss about a special type of integer additive set-indexers called arithmetic integer additive set-indexer and establish some results on this type of integer additive set-indexers. We also check the admissibility of arithmetic integer additive set-indexer by certain graphs associated with a given graph.

研究の動機と目的

• 算術的整数加法的集合指数化（AIASI）と呼ばれる新しい整数加法的集合指数化のクラスを定義し、形式化すること。
• グラフがAIASIを有するための構造的条件を調査すること。
• 与えられたグラフから導かれる特定のグラフ族（例えば、分割や結合）におけるAIASIの許容可能性を同定すること。
• 算術的等差数列に基づくラベル付けパターンを統合することで、整数加法的集合指数化（IASI）理論を拡張すること。

提案手法

• AIASIを、f: V(G) → 2^ℕ₀ である単射関数として定義し、誘導される辺関数 f⁺(uv) = f(u) + f(v) も単射であり、ラベルが等差数列を形成することを満たすものとする。
• 対称差と集合加法の演算を用いて、頂点ラベルから辺ラベルを定義し、辺全体にわたる単射性を保証する。
• 組合せ論的および集合論的技法を用いて、頂点および辺ラベルの基数と構造を分析する。
• 頂点ラベル集合とその加法的性質に基づいて、グラフがAIASIを有するための必要十分条件を確立する。
• 分割、和集合、結合などのグラフ演算を分析し、それらがAIASIの許容性を保存するか、あるいは誘導するかを同定する。
• AIASIの挙動を文脈化するための比較フレームワークとして、弱いおよび強いIASIの概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、グラフが算術的整数加法的集合指数化（AIASI）を有することができるか？
• RQ2 分割や結合などのグラフ族（例えば、グラフの分割や結合）は、AIASIに対して許容可能か？
• RQ3 頂点ラベルの算術的構造は、IASIにおける辺ラベルの単射性および基数にどのように影響を与えるか？
• RQ4 AIASIと、弱いおよび強いIASIなどの既存のIASIクラスとの関係は何か？
• RQ5 非負整数の集合における等差数列の性質を用いて、AIASIを特徴づけることは可能か？

主な発見

• グラフがAIASIを有するのは、その頂点ラベルがすべて等差数列であり、かつ任意の二つのラベルの和集合が一意で単射な辺ラベルを生成する場合に限る。
• IASIグラフの分割は、元の頂点ラベルの等差数列構造に関連する特定の条件下で、AIASIを継承できる。
• 二つのグラフの結合は、成分グラフの頂点ラベルを、それらの和集合が単射性を保ちつつ等差数列の性質を維持するように選ぶことで、AIASIを有する。
• グラフが弱いIASIであるためには、辺ラベルのサイズが接続する二つの頂点ラベルサイズの最大値に等しくなければならないが、これは制御された算術的ラベル付けのもとでAIASIによって満たされることがある。
• 強いIASIの条件（辺ラベルサイズが頂点ラベルサイズの積に等しい）は、一般にAIASIによって満たされないため、構造的挙動が明確に異なることが示された。
• 本稿では、AIASIがIASIの真の部分クラスであり、ラベルの等差数列性に起因する追加の制約を有することを確立した。