[論文レビュー] A note on lineability

Geraldo Botelho, Diogo Diniz+2 more|ArXiv.org|May 16, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超反射的バナッハ空間 $E$ からバナッハ空間 $F$ へのコンパクト作用素の集合から絶対的 $p$-和型作用素を除いた集合が、特定の条件下で $\aleph_1$-線形性を示すことを確立している。具体的には、$E$ に補完可能な無限次元の unconditional 基底を有するか、$F$ に無限次元の unconditional 基底を含む場合に該当する。証明では、差集合へへの単射線形写像を $\ell_1$ から構成し、その像として非可算次元の部分空間を同定することで、既存の $\aleph_0$-線形性に関する結果を拡張している。

ABSTRACT

In this note we answer a question concerning lineability of the set of non-absolutely summing operators.

研究の動機と目的

• 文献[1]における未解決問題、すなわち非絶対的和型作用素の集合が $\mu > \aleph_0$ に対して $\mu$-線形性を示せるか否かを解明すること。
• 非絶対的和型作用素に対して既知の $\aleph_0$-線形性の結果を非可算線形性へ拡張すること。
• 適切な幾何的条件下で、$\mathcal{L}(E;F)$ 内の固定点におけるノルムを達成する作用素の集合に対して $\aleph_1$-線形性を確立すること。
• 例えば $E = \ell_p$, $F = \ell_q$ で $p > 1$ の場合に、線形性次元が最適であることを示すこと。
• 文献[1]および[4]の技術を統合・一般化し、作用素イデアルおよびノルムを達成する作用素集合の両方における線形性を証明すること。

提案手法

• $\mathbb{N}$ を無限個の互いに素な無限部分集合 $(A_j)_{j=1}^\infty$ に分解し、unconditional 基底を有する部分空間を構成する。
• unconditional 基底の性質を用いて、$E_0 \subset E$ や $F_j \subset F$ の補完可能な部分空間 $E_j$ や $F_j$ を定義し、ノルムが $\varrho$（unconditional 基底定数）以下である射影を保証する。
• 既知の結果[2]を用いて、各 $E_j$ や $F_j$ 上でコンパクトだが絶対的 $p$-和型でない作用素 $u_j$ を構成する。
• 各 $u_j$ を射影と包含写像の合成により $E$ 上の作用素 $\widetilde{u}_j$ に拡張し、$\widetilde{u}_j \in \mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)$ であることを保証する。
• 各 $a_n$ の列 $(a_n) \in \ell_1$ に対して $T((a_n)) = \sum_{j=1}^\infty a_j \widetilde{u}_j$ で定義される線形写像 $T: \ell_1 \to \mathcal{K}(E;F)$ を構成し、台の不重複性を活かして単射性を保証する。
• $T(\ell_1) \subset (\mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)) \cup \{0\}$ を証明し、像が差集合に含まれる $\aleph_1$ 次元部分空間であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E$ と $F$ が適切なバナッハ空間条件を満たす場合、$\mathcal{L}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)$ は $\mu > \aleph_0$ に対して $\mu$-線形性を示せるか？
• RQ2 $E$ が超反射的で、補完可能な無限次元の unconditional 基底を有する部分空間を含む場合、$\mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)$ は $\aleph_1$-線形性を示せるか？
• RQ3 同様の線形性技法は、ノルムを達成する作用素の集合 $\mathcal{NA}^{x_0}(E;F)$ に対しても適用可能か？
• RQ4 自然な例として $E = \ell_p$, $F = \ell_q$ の場合に、$\mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)$ の最大可能な線形性次元は何か？
• RQ5 この構成は、絶対的和型作用素やコンパクト作用素を超える他の作用素イデアルに対しても一般化可能か？

主な発見

• $E$ が超反射的で、補完可能な無限次元の unconditional 基底を有する部分空間を含む場合、集合 $\mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)$ は $\aleph_1$-線形性を示す。
• $E$ がそのような部分空間を含まない場合でも、$F$ に無限次元の unconditional 基底を含むならば、同様の結論が成り立つ。
• 単射線形写像 $T: \ell_1 \to \mathcal{K}(E;F)$ が構成され、その像が $\left(\mathcal{K}(E;F)\setminus\Pi_p(E;F)\right) \cup \{0\}$ に含まれることを示し、非可算線形性を証明する。
• 構成された部分空間の次元は正確に $\aleph_1$ であり、$E = \ell_p$, $F = \ell_q$ で $p > 1$ の場合に最適である。なぜなら、$\dim \mathcal{L}(\ell_p;\ell_q) = \aleph_1$ であるからである。
• この手法はノルムを達成する作用素に対しても拡張可能である：$E$ に $\ell_q$ の等長写像の像を含む場合、$\mathcal{NA}^{x_0}(E;F)$ は $\aleph_1$-線形性を示す。
• 証明は、台の不重複性と有界射影に依存しており、写像 $T$ の単射性と像における望ましい作用素の性質の保存を保証する。