[論文レビュー] A Note on Linear Quadratic Regulator and Kalman Filter

Midhun T. Augustine|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2023

Inertial Sensor and Navigation被引用数 4

ひとこと要約

本ノートは、離散時間線形システムにおける線形二次調節器（LQR）とカルマンフィルタ（KF）の理論的かつ直感的な導入を提供し、最適制御則と推定則の導出を行う。動的計画法とリカッチ方程式を用いてLQRコントローラーとKF推定器の導出を行い、可制御性および可観測性のもとで定常状態解への収束を示し、数値実装の詳細とシミュレーション結果を通じて、予測子、フィルタ、スムーザーのバリエーションにおける性能を示す。

ABSTRACT

Two central problems in modern control theory are the controller design problem: which deals with designing a control law for the dynamical system, and the state estimation problem (observer design problem): which deals with computing an estimate of the states of the dynamical system. The Linear Quadratic Regulator (LQR) and Kalman Filter (KF) solves these problems respectively for linear dynamical systems in an optimal manner, i.e., LQR is an optimal state feedback controller and KF is an optimal state estimator. In this note, we will be discussing the basic concepts, derivation, steady-state analysis, and numerical implementation of the LQR and KF.

研究の動機と目的

• 離散時間線形システムにおける線形二次調節器（LQR）とカルマンフィルタ（KF）の理論的基盤を提供すること。
• 動的計画法とリカッチ方程式を用いて最適制御則および推定則を導出すること。
• LQRおよびKFの定常状態挙動を分析し、リカッチ方程式および推定器ゲインの収束を検証すること。
• 予測子、フィルタ、スムーザーのバリエーションを含むLQRおよびKFの数値実装アルゴリズムを提示すること。
• シミュレーションを通じて性能差を示し、カルマンスムーザーが最小の推定分散を達成することを示すこと。

提案手法

• 動的計画法とハミルトン・ジョルダン・ベルマン方程式を用いて、二次コスト関数の最小化によりLQRコントローラーを導出する。
• 離散時間リカッチ方程式を解き、最適状態フィードバック制御を可能にするLQRゲイン行列を求める。
• 分離原理を用いてカルマンフィルタを導出し、カルマンゲインとリカッチ方程式を用いて推定誤差分散を最小化する。
• カルマン予測子、フィルタ、スムーザーの定式化を適用し、時変および定常状態のゲイン計算を実施する。
• 可観測性およびプロセスノイズが正定値である条件下で、推定器の定常状態収束を分析するための代数的リカッチ方程式（ARE）を用いる。
• LTIシステムを用いた数値シミュレーションにより、ガウスノイズモデルを用いて予測子、フィルタ、スムーザー間の状態推定性能を比較する。

Figure 1: Response of LTI system with LQR: (a) $N=5,$ (b) $N=50$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形システムの最適制御則は、二次コスト関数の最小化によってどのように導出可能か？
• RQ2 カルマンフィルタ推定器が定常状態ゲイン行列に収束するための条件は何か？
• RQ3 推定誤差分散の観点から、カルマン予測子、フィルタ、スムーザーの性能特性はどのように比較できるか？
• RQ4 リカッチ方程式はLQRおよびKFの導出および数値実装において果たす役割は何か？
• RQ5 分離原理は、LQRとKFの構成要素を組み合わせてLQG制御を設計するのをどのように可能にするか？

主な発見

• LQRコントローラーは、有限区間における二次コスト関数の最小化問題の解として導出される。
• カルマンフィルタ推定器は、システムのダイナミクスとノイズのある測定値を最適に組み合わせることで、平均二乗推定誤差を最小化する。
• 正定値プロセスノイズを有する可観測なLTIシステムでは、カルマンフィルタのリカッチ方程式は一意の正定値解に収束し、固定ゲイン推定が可能になる。
• カルマンスムーザーは、最も高い精度の状態推定を提供し、最小の分散を達成するが、予測子は将来の測定値が利用できないため、最も高い分散を示す。
• 最適推定器ゲインおよびリカッチ行列は定常状態で時間不変値に収束し、収束後はオンライン計算量を削減できる。
• 数値シミュレーションにより、カルマンスムーザーがフィルターや予測子よりも推定精度が優れていることが確認され、分散の順序は予測子 > フィルタ > スムーザーである。

Figure 2: Gaussian distribution: graphical representation