[論文レビュー] A Note on p-Adic Invariant Integral in the Rings of p-Adic Integers

Taekyun Kim|ArXiv.org|Jun 5, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、q → -1 の極限におけるp進q積分の極限を調査し、ℤₚ 上に新しいp進不変積分 I₋₁(f) を定義する。I₋₁(f) に対する積分方程式を導出し、Witt型の公式を確立し、積分を用いて一般化されたオイラー数および多項式を定義することで、p進解析とq微積分を用いたオイラー型特殊数の性質を研究するp進フレームワークを提供する。

ABSTRACT

In [2], I constructed the p-adic q-integral on Zp. In this paper, we consider the properties of the p-adic invariant p-adic q-integral in the ring of p-adic integers at q=-1. Finally we give the some applications of p-adic q-integration at q=-1. These properties are useful and worthwhile to study Euler numbers and polynomials.

研究の動機と目的

• q→-1 の極限におけるp進q積分の極限を調べ、新たなp進不変積分 I₋₁(f) を得ること。
• ℤₚ 上で一様微分可能な関数に対して、I₋₁(f) が満たす積分方程式を導出すること。
• I₋₁(f) 積分を用いて、一般化されたオイラー数および多項式のWitt型の公式を確立すること。
• I₋₁(f) フレームワークを用いて、古典的オイラー数および多項式を新たなp進類似に拡張すること。

提案手法

• p進q積分 I_q(f) を ℤₚ 上のqアナロジーRiemann和の極限として定義する。
• q→-1 の極限をとることで、フェルミオンp進積分 I₋₁(f) = lim_{q→-1} I_q(f) を定義する。
• f₁(x) = f(x+1) に対して、関数方程式 I₋₁(f₁) + I₋₁(f) = 2f(0) を用いて、再帰的積分恒等式を導出する。
• 生成関数 λ^x e^{xt} を含む関数に I₋₁(f) を適用し、一般化されたオイラー数 E_n(λ) および多項式 E_n(λ:x) を定義する。
• 多変数p進積分を用いて、(2/(λe^t + 1))^r e^{xt} を用いて、r次の高次オイラー多項式を定義する。
• ディリクレ指標 χ に積分を適用し、∫_X x^n χ(x) dμ₋₁(x) = E_{n,χ} を用いて、一般化されたオイラー数 E_{n,χ} を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進q積分における q→-1 の極限として得られるp進不変積分 I₋₁(f) が満たす積分方程式は何か？
• RQ2 I₋₁(f) 積分を用いて、一般化されたオイラー数および多項式をどのように定義できるか？
• RQ3 I₋₁(f) 積分と古典的オイラー数および多項式との関係は何か？
• RQ4 多変数p進積分は、I₋₁(f) フレームワークをどのように高次オイラー多項式へ拡張するか？
• RQ5 I₋₁(f) 積分は、ディリクレ指標に付随する一般化されたオイラー数に対してWitt型の公式を導くことができるか？

主な発見

• 積分 I₋₁(f) は lim_{q→-1} I_q(f) = ∑_{x=0}^{p^N-1} (-1)^x f(x) の極限 N→∞ として定義される。
• f₁(x) = f(x+1) に対して、基本的恒等式 I₋₁(f₁) + I₋₁(f) = 2f(0) が成り立ち、積分の主要な再帰的関係が確立される。
• Wittの公式 ∫_{ℤₚ} λ^x x^n dμ₋₁(x) = E_n(λ) が成り立ち、生成関数 2/(λe^t + 1) を用いて一般化されたオイラー数 E_n(λ) が定義される。
• 一般化されたオイラー多項式 E_n(λ:x) は ∫_{ℤₚ} λ^y (x+y)^n dμ₋₁(y) = E_n(λ:x) で定義され、明示的な二項展開 E_n(λ:x) = ∑_{k=0}^n C(n,k) E_k(λ) x^{n-k} を持つ。
• 奇数 f に対して、恒等式 E_n(λ:x) = f^{−1} ∑_{a=0}^{f−1} (−1)^a λ^a E_n(λ^f; (x+a)/f) が多項式の関数方程式を提供する。
• 奇数の導手 f を持つディリクレ指標 χ に付随する一般化されたオイラー数は ∫_X x^n χ(x) dμ₋₁(x) = E_{n,χ} で与えられ、E_{n,χ} のWitt型の公式が確立される。