[論文レビュー] p-adic l-functions and sums of powers

T. Kim|ArXiv.org|May 27, 2006

Advanced Mathematical Identities参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、$ p $ を奇素数とし、$ n $ を偶数として、$ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ の明示的な $ p $-進展開を、$ n $ のべき級数として導出する。その係数は、オイラー数に関連する $ p $-進 $ L $-関数の値である。主な結果は、この和を $ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ を用いて表現することであり、オイラー数とディリクレ指標を用いた $ p $-進補間によって、累乗の交代和を一般化する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give the explicit formulae of p-adic l-functions and sums of powers which are related to Euler numbers.

研究の動機と目的

• 非交代和に対するワシントンの公式を、$ p $ を法とする交代和の累乗に拡張すること。
• 逆数の交代和を用いて、オイラー数の $ p $-進 $ L $-関数を構成すること。
• 偶数 $ n $ および奇素数 $ p $ に対して、$ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ の明示的な $ n $ に関するべき級数展開を導出すること。
• 生成関数および指標和を用いて、オイラーゼータ関数、一般化されたベルヌーイ数、$ p $-進 $ L $-関数の間の関係を確立すること。

提案手法

• オイラー多項式の母関数 $ \frac{2}{e^t + 1} e^{xt} $ を用いて、オイラーゼータ関数 $ \zeta_E(s,x) = 2 \sum_{l=0}^\infty \frac{(-1)^l}{(l+x)^s} $ を定義する。
• オイラー数と関連する $ p $-進 $ L $-関数 $ l_p(s, \chi) $ を、$ H(-n, a|F) = (-1)^a \frac{F^n}{2} E_n(\frac{a}{F}) $ の $ p $-進補間によって定義する。
• 交代和 $ \sum_{j=1, (j,p)=1}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ を、$ m $ および $ l $ に関する二重和として、$ (a + Fl)^{-r} $ の二項展開を用いて表現する。
• 偶数 $ n $ に対して、恒等式 $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l l^m = \frac{(-1)^{n+1}}{2} \sum_{l=0}^{m-1} E_l n^{m-l} \binom{m}{l} $ を適用し、累乗和をオイラー数と関連付ける。
• 得られた級数を $ H(s,a|F) $ の式に代入することで、$ (pn)^k $ の級数が得られ、その係数には $ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ が含まれる。
• 恒等式 $ \frac{r}{r+k} \binom{-r-1}{k} = \binom{-r}{k} \frac{r}{r+k} $ を用いて、最終的なべき級数表現を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数 $ j $ が $ p $ と互いに素であるような、$ p $ と互いに素な整数の累乗の逆数の交代和を、$ n $ の $ p $-進べき級数としてどのように表現できるか？
• RQ2 $ p $-進 $ L $-関数 $ l_p(s, \chi) $ は、オイラー数に関連する累乗の交代和を補間するために果たす役割は何か？
• RQ3 オイラー多項式の母関数は、ディリクレ指標に関する $ p $-進 $ L $-関数とどのように関係するか？
• RQ4 ワシントンの非交代和の公式は、$ p $-進手法を用いて交代和へ一般化可能か？
• RQ5 $ \sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ の $ p $-進展開における係数の明示的構造は何か？

主な発見

• 交代和 $ 2\sum_{\substack{j=1\\(j,p)=1}}^{np} \frac{(-1)^j}{j^r} $ は、$ n $ のべき級数として表現され、$ -\sum_{k=0}^{\infty} \frac{r}{r+k} \binom{-r-1}{k} (pn)^k l_p(r+k, w^{-k-r}) $ となる。この式は、偶数 $ n $ および奇素数 $ p $ に対して有効である。
• 展開の係数は、$ \chi = w^{-k-r} $ として、$ p $-進 $ L $-関数 $ l_p(s, \chi) $ を $ s = r+k $ で評価した値である。ここで $ w $ はテイヒミュラー指標である。
• $ r \in \mathbb{N} $ のとき、和は $ n $ に関して $ p $-進正則であることが示され、二項係数および $ l_p $-値の $ p $-進収束により収束が保証される。
• 導出は、$ n $ が偶数のとき、恒等式 $ \sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l l^m = -\frac{1}{2} \sum_{l=0}^{m-1} E_l n^{m-l} \binom{m}{l} $ に依拠しており、累乗和とオイラー数を結びつける。
• 本稿では、$ (-1)^j $ を導入し、$ w $-捩れ指標を用いることで、ワシントンの非交代和の公式を交代和へ一般化する。
• 最終的な公式は、$ l_p(r+k, w^{-k-r}) $ を用いた、累乗の交代和の $ p $-進補間を確立し、$ p $-進 $ L $-関数の理論をオイラー数の文脈へ拡張する。