[論文レビュー] A note on plurisubharmonic defining functions in C^2

John Erik Fornæss, Anne-Katrin Herbig|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ℂ² 内の滑らかに有界な領域が、境界上で正しく定義された関数が擬凸であるならば、Diederich-Fornæss 指数を 1 に限りなく近づけることができ、かつその領域の閉包が Stein 領域の基底をもつことを確立する。これは、境界付近での曲率推定を活用して、重み付き摂動を施した定義関数を用いた改良された擬凸 exhaustion 関数の構成によって達成される。

ABSTRACT

Let D be a smoothly bounded domain in C^2. Suppose that D admits a smooth defining function which is plurisubharmonic on the boundary of D. Then the Diederich-Fornaess exponent can be chosen arbitrarily close to 1, and the closure of D admits a Stein neighborhood basis.

研究の動機と目的

• ℂ² 内の領域の境界上で定義関数が擬凸であるという条件下で、その複素ヘッセ行列が境界付近でどのように振る舞うかを調査すること。
• 境界上で擬凸であるという追加条件のもとで、擬凸領域における定義関数の複素ヘッセ行列の標準的な下界推定値を改善すること。
• この条件下で、領域およびその補集合に対して、厳密に擬凸な exhaustion 関数の存在を確立すること。
• Diederich-Fornæss 指数を 1 に限りなく近づけられ、かつ領域の閉包が Stein 領域の基底をもつことを証明すること。

提案手法

• 定義関数を外法線方向にテイラー展開することで、境界付近における複素ヘッセ行列を境界値と境界からの距離の関数として表現する。
• ヘッセ行列の推定値を改善できない障害は、$ NH_{\rho}(L,L) $ の符号に起因することを特定する。ここで $ N $ は外向き単位法線、$ L $ は接ベクトル場である。
• 負の曲率寄与を補正するため、新しい定義関数 $ r = \rho e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $ を構成する。これにより、改善されたヘッセ行列の境界が得られる。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ および $ K > 0 $ に対して、$ \overline{\Omega} \cap V $ で $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $ を満たす定義関数 $ r_1 $ と、補集合で同様の推定が成り立つ $ r_2 $ が存在することを証明する。
• 改善されたヘッセ行列推定値を用いて、重み付き exhaustion 関数 $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ および $ \widetilde{r}_2^\eta $ を構成し、$ \eta \in (0,1) $ のときには厳密に擬凸、$ \eta > 1 $ のときには同様に厳密に擬凸であることを証明する。
• 既知の Diederich-Fornæss 指数および Stein 領域の基底に関する結果を活用して、主要な系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ² 内の滑らかに有界な擬凸領域が、境界上で擬凸である定義関数をもつならば、その Diederich-Fornæss 指数を 1 に限りなく近づけられるか。
• RQ2 境界上で擬凸関数を定義関数としてもつことは、領域の閉包が Stein 領域の基底をもつことを意味するか。
• RQ3 定義関数が境界上で擬凸であるとき、その複素ヘッセ行列は境界付近でどのように振る舞うか。
• RQ4 この境界上の擬凸性の条件下で、領域およびその補集合に対して、厳密に擬凸な exhaustion 関数を構成できるか。

主な発見

• 任意の $ \epsilon > 0 $ および $ K > 0 $ に対して、ある近傍 $ V $ において、$ \overline{\Omega} \cap V $ で $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $ を満たす定義関数 $ r_1 $ と、$ \overline{\Omega^c} \cap V $ で $ H_{r_2}(\xi,\xi) \geq -\epsilon r_2|\xi|^2 + K|\langle \partial r_2, \xi \rangle|^2 $ を満たす $ r_2 $ が存在する。
• 領域 $ \Omega $ の Diederich-Fornæss 指数は 1 に限りなく近づけられ、これは $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ が任意の $ \eta \in (0,1) $ に対して $ \Omega $ 上で厳密に擬凸であることを意味する。
• 任意の $ \eta > 1 $ に対して、$ b\Omega $ の近傍 $ V $ および定義関数 $ \widetilde{r}_2 $ が存在し、$ \widetilde{r}_2^\eta $ が $ V \setminus \overline{\Omega} $ 上で厳密に擬凸である。
• 領域 $ \Omega $ の閉包は Stein 領域の基底をもつ。これは、$ b\Omega $ が一様に H-凸であることを意味する。
• ヘッセ行列推定値の改善の障害は $ NH_{\rho}(L,L) $ によって定量化され、この障害は定義関数の共形型摂動によって補正可能である。
• 改善された定義関数の構成は、元の定義関数に $ e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $ を乗じることに依存しており、これにより境界付近での負の曲率寄与が効果的に相殺される。