[論文レビュー] A note on Renner monoids

Eddy Godelle|ArXiv.org|Apr 6, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、すべてのレナーモノイドに対してモノイド表示と新しい長さ関数を提供し、コクセター群理論を代数的モノイドへ拡張する。長さ関数はコクセター長さを一般化し、ブルア・分解に関して良好に振る舞い、ヘッケ代数および二重コセット次元を含む幾何的公式と整合性を示す。

ABSTRACT

We provide every Renner monoids with a monoid presentation, and we introduce a length function which extends the Coxeter length function.

研究の動機と目的

• レナーモノイドに対するコクセターに類似した理論を構築すること。レナーモノイドは、代数的群論におけるワイル群が果たす役割と同様に、線形代数的モノイド論において重要な役割を果たす。
• 構造的に重要なレナーモノイドに対して、体系的なモノイド表示および長さ関数理論の欠如に応えること。
• コクセター長さを拡張し、幾何的および組合せ論的性質を良好に示す新しい長さ関数を導入すること。
• この長さ関数とレナーモノイドのヘッケ代数との関係を確立し、ロウ・モノイドの場合の結果を一般化すること。
• ブルア分解における二重コセット次元を用いた、長さ関数の幾何的公式を提示すること。

提案手法

• 生成元 $ S \bigcup \tilde{\text{L}} $ を用いて、任意のレナーモノイド $ R(M) $ のモノイド表示を構成する。ここで $ S $ はコクセター生成集合であり、$ \tilde{\text{L}} $ は冪等元のクロスセクション格子の非単位元の集合である。
• 関係式を定義する：コクセター群部には (COX1) と (COX2) を、生成元と冪等元の間の相互作用には (TYM1)、(TYM2)、および (TYM) を定める。
• 長さ関数 $ \ell $ を、$ s \in S $ に対して $ \ell(s) = 1 $、$ e \in \tilde{\text{L}} $ に対して $ \ell(e) = 0 $ とし、語に対して加法的に拡張した後、最小代表元長をとる。
• レナーモノイドの要素における通常分解 $ (w_1, e, w_2) $ を用いて、単純反射による乗算における長さ関数の振る舞いを分析する。
• 幾何的公式を確立する：$ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $、ここで $ (w_1, e, w_2) $ は $ w $ の通常分解である。
• 長さ関数がブルア型の分解則を満たすことを証明する：$ BsBwB $ は、$ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $、または $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ に応じて、それぞれ $ BwB $、$ BswB $、または $ BswB \cup BwB $ に等しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのレナーモノイドに対して、既知のロウ・モノイドの表示を一般化する体系的なモノイド表示が構成可能か？
• RQ2 コクセター長さを拡張し、単純反射による乗算において良好に振る舞う長さ関数がレナーモノイド上に存在するか？
• RQ3 長さ関数にブルア分解における二重コセット次元に基づく幾何的解釈は存在するか？
• RQ4 新しい長さ関数は、古典的ソロモン長さ関数およびヘッケ代数構造とどのように関係するか？
• RQ5 どのような条件下で $ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $、または $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ が成り立ち、それらは通常分解とどのように関連するか？

主な発見

• レナーモノイド $ R(M) $ は、生成元 $ S \cup \Lambda_{\circ} $ および関係式 (COX1)、(COX2)、(TYM1)、(TYM2)、(TYM) を持つモノイド表示を備え、ロウ・モノイドの場合を一般化する。
• 新しい長さ関数 $ \ell $ は、$ sw $ の通常分解に応じて、$ \ell(sw) = \ell(w) $、$ \ell(sw) = \ell(w)+1 $、または $ \ell(sw) = \ell(w)-1 $ を満たす。これは命題 0.2 で形式化されている。
• 長さ関数は幾何的に実現可能である：$ \ell(w) = \dim(Bw_1 e B) - \dim(B e w_2 B) $、ここで $ (w_1, e, w_2) $ は $ w $ の通常分解である。
• 新しい長さ関数は、分解における定数項のずれを除いて、ソロモン長さ関数と一致する。$ \ell(sw) - \ell(w) = \tilde{l}(sw) - \tilde{l}(w) $ が成り立ち、ここで $ \tilde{l} $ はソロモン長さ関数である。
• 単位群 $ W $ に属する $ w $ に対して、長さ関数は標準的なコクセター長さに還元される：$ \ell(w) = \dim(BwB) - \dim(B) $。
• 長さ関数は $ \ell(we) \leq \ell(w) $ および $ \ell(ew) \leq \ell(w) $ を満たし、等号が成り立つのは、$ we $ や $ ew $ の通常分解が特定の方法で保存される場合に限る。これは命題 3.4 で示されている。