[論文レビュー] A Note on Self-Dual Generalized Reed-Solomon Codes

Weijun Fang, Jun Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体内の乗法的部分群およびその陪集合に基づく評価集合を用いて、自己双対 GRS コードを構築することで、4つの新しい MDS 自己双対一般化 Reed-Solomon (GRS) コードの族を提示する。自己双対 GRS コードの構築に、Möbius 変換（PGL₂ 行動）を用いた体系的な手法を導入し、$ \mathbb{F}_q $ 上の長さ $ n < q+1 $ のすべての自己双対拡張 GRS コードが、無限遠点を含まない標準 GRS コードから導出可能であることを証明する。

ABSTRACT

A linear code is called an MDS self-dual code if it is both an MDS code and a self-dual code with respect to the Euclidean inner product. The parameters of such codes are completely determined by the code length. In this paper, we consider new constructions of MDS self-dual codes via generalized Reed-Solomon (GRS) codes and their extended codes. The critical idea of our constructions is to choose suitable evaluation points such that the corresponding (extended) GRS codes are self-dual. The evaluation set of our constructions is consists of a subgroup of finite fields and its cosets in a bigger subgroup. Four new families of MDS self-dual codes are obtained and they have better parameters than previous results in certain region. Moreover, by the Mobius action over finite fields, we give a systematic way to construct self-dual GRS codes with different evaluation points provided any known self-dual GRS codes. Specially, we prove that all the self-dual extended GRS codes over $\mathbb{F}_{q}$ with length $n&lt; q+1$ can be constructed from GRS codes with the same parameters.

研究の動機と目的

• 既存の文献を超えて、より優れたパラメータを持つ新しい MDS 自己双対コードの族を構築すること。
• 射影線形群 PGL₂(\mathbb{F}_q) の自己同型を用いた、自己双対 GRS コードを体系的に生成する方法を開発すること。
• 長さ $ n < q+1 $ の $ \mathbb{F}_q $ 上の自己双対拡張 GRS コードが、無限遠点を含まない標準 GRS コードから構成可能であることを証明すること。
• 有限体における乗法的部分群とその陪集合が、自己双対 GRS コードのための評価集合として果たす役割を調査すること。

提案手法

• 有限体 $ \mathbb{F}_q^* $ 内の乗法的部分群およびその陪集合の和集合を評価集合として選ぶことにより、自己双対 GRS コードを構築する。
• PGL₂(\mathbb{F}_q) の評価点への作用を用いて、既知の自己双対 GRS コードから新しい自己双対 GRS コードを生成する。Möbius 変換を用いる。
• GRS コードが PGL₂(\mathbb{F}_q) 行動によって持つ自己同型性を活用し、変換式 $ g_k G_k = G_k \Pi(g) \Delta_k(g) $ を用いる。
• 変換された生成行列を、新しい評価集合に対応する列の部分集合に制限することで、新しいスケーリングベクトルを導出する。
• 任意の長さ $ n < q+1 $ の自己双対拡張 GRS コードが、無限遠点を評価集合から除外する適切な Möbius 変換を選択することで、標準 GRS コードから得られることを証明する。
• Möbius 変換 $ g = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ が $ \infty $ を有限元に写すという事実を用い、評価集合から無限遠点を除外可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体における乗法的部分群およびその陪集合に基づく構造的評価集合を用いて、新しい MDS 自己双対 GRS コードの族を構築可能か？
• RQ2 PGL₂(\mathbb{F}_q) 行動を、既知の自己双対 GRS コードから新しい自己双対 GRS コードを体系的に生成するのにどのように用いることができるか？
• RQ3 自己双対拡張 GRS コードの評価集合から無限遠点を除外しつつ、自己双対性を保てるか？
• RQ4 GRS コードが $ \mathbb{F}_q $ 上で自己双対となるための評価集合に関する必要十分条件は何か？
• RQ5 長さ $ n < q+1 $ のすべての自己双対拡張 GRS コードが、Möbius 変換を用いて標準 GRS コードから構成可能か？

主な発見

• パラメータが従来の結果ではカバーされていない領域において、4つの新しい MDS 自己双対コードの族が構築された。
• GRS コードにおける Möbius 行動は、任意の既知の自己双対 GRS コードから新しい自己双対 GRS コードを体系的に生成する手段を提供する。
• 長さ $ n < q+1 $ の $ \mathbb{F}_q $ 上のすべての自己双対拡張 GRS コードが、無限遠点を含まない標準 GRS コードから構成可能であることが証明された。
• 部分群とその陪集合を用いた評価集合の構成により、パラメータカバレッジが向上した MDS 自己双対コードが得られた。
• 任意の長さ $ n < q+1 $ の自己双対拡張 GRS コードに対して、適切な Möbius 変換を用いることで、$ \mathbb{F}_q $ 上の自己双対 GRS コード（無限遠点を含まないもの）が対応して存在する。
• 本手法により、新しい評価集合が群作用に関して閉じており、適切なスケーリングベクトルの調整によって自己双対性が保たれることを保証する。