[論文レビュー] On the Constructions of MDS Self-dual Codes via Cyclotomy

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体上のMDS自己双対符号の新規構成法を提示する。一般化リード・ソロモン（GRS）および拡張GRS（EGRS）符号を用い、体の乗法的群の巡回的クラスの和集合を評価集合として用いる。自己双対性条件を巡回的数の観点から表現することで、特に奇素数冪およびさまざまな巡回的次数に対して、従来未知であった長さを持つ新たなMDS自己双対符号の系列が得られる。

ABSTRACT

MDS self-dual codes over finite fields have attracted a lot of attention in recent years by their theoretical interests in coding theory and applications in cryptography and combinatorics. In this paper we present a series of MDS self-dual codes with new length by using generalized Reed-Solomon codes and extended generalized Reed-Solomon codes as the candidates of MDS codes and taking their evaluation sets as an union of cyclotomic classes. The conditions on such MDS codes being self-dual are expressed in terms of cyclotomic numbers.

研究の動機と目的

• 有限体上、従来未知の長さを持つ新たなMDS自己双対符号の構成。
• 評価集合として部分群や部分空間を用いた先行研究を一般化し、巡回的クラスの和集合を用いる。
• GRSおよびEGRS符号から得られるMDS符号が自己双対となるための必要十分条件を、巡回的数論を用いて確立する。
• 半原始的ケースにとどまらず、巡回的数論の応用範囲をMDS自己双対符号の構成に拡張する。
• 特にe = 4およびe = 2の場合に、さまざまな巡回的次数に対応する明示的なMDS自己双対符号の族を提供する。

提案手法

• 構成法は、一般化リード・ソロモン（GRS）および拡張GRS（EGRS）符号をMDS符号の候補として用いる。
• 評価集合Sは、F_q^* 内の部分群D = ⟨θ^e⟩ の陪集合の和集合として選ぶ。ここでF_q^* = ⟨θ⟩ である。
• 自己双対性は、特に選択された添字集合Iにおける（奇数、I−i）和の偶奇性に依存する巡回的数の条件によって決定される。
• 本手法は、e = 2およびe = 4における既知の巡回的数の結果、特にその偶奇性と代数的構造を活用する。
• 著者らは定理3.3を適用し、巡回的数の偶奇性に関する条件を、自己双対符号の存在基準に翻訳する。
• e = 2およびe = 4の具体的な構成が得られ、4、8、16を法とする素数冪qの法に応じた詳細な解析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限体F_qおよび巡回的クラスの和集合に対して、GRSおよびEGRS符号を用いてMDS自己双対符号を構成できるか？
• RQ2 このようなMDS符号が自己双対となるための巡回的数に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 得られるMDS自己双対符号のパラメータ（長さ、体のサイズ）は、巡回的次数eおよび添字集合Iの構造にどのように依存するか？
• RQ4 この構成法により、文献に既に知られていなかった新たな符号長を達成できるか？
• RQ5 二次的特徴および分解q = s² + 4t²は、このような符号の存在を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• e = 2の場合、q ≡ 1 (mod 4) ならば 2f + 2 ∈ Σ(eg, q)；q ≡ 1 (mod 8) ならば f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• q ≡ 3 (mod 4) ならば 2f + 2 ∈ Σ(eg, q)；q ≡ 7 (mod 8) ならば f + 1 ∈ Σ(eg, q) ∩ Σ(g, q)。
• e = 4およびp ≡ 1 (mod 4) の場合、2 | f（つまりq ≡ 1 (mod 8)）ならば f, 2f ∈ Σ(g, q) かつ f + 2, 2f + 2, 4f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• q ≡ 1 (mod 16) かつ 4 | t、または q ≡ 9 (mod 16) かつ t ≡ 2 (mod 4) ならば 3f ∈ Σ(g, q) かつ 3f + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• p ≡ 3 (mod 4) の場合、p ≡ 7 (mod 8) または p ≡ 3 (mod 8) かつ 2 | m ならば f, 2f ∈ Σ(g, q) かつ 1 ≤ l ≤ 4 に対して fl + 2 ∈ Σ(eg, q)。
• 半原始的ケースにおいてp ≡ 3 (mod 8) かつ 2 ∤ m ならば、1 ≤ l ≤ 3 に対して fl ∈ Σ(g, q) かつ l = 1, 2, 4 のとき fl + 2 ∈ Σ(eg, q)。