[論文レビュー] A Note on the Chas-Sullivan product

François Laudenbach|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多様体の自由ループ空間上のチャス＝サリヴァン積を、有限次元的で単体的な手法によって提示する。トランスバーサリティと局所係数を用いた小さな単体により、チェインレベルで積を定義する。主な貢献は、ホモトピー的不変性を持ち、幾何的に直感的な構成であり、非可縮多様体へも拡張可能で、スペクトル系列とドローム同型を用いて既知の結果を回復できる点である。

ABSTRACT

We give a finite dimensional approach to the Chas-Sullivan product on the free loop space of a manifold, orientable or not.

研究の動機と目的

• 多様体の自由ループ空間上のチャス＝サリヴァン積の有限次元的で幾何的に直感的な構成を提供すること。
• 整数係数の代わりに局所係数を用いることで、非可縮多様体へも積を拡張すること。
• 無限次元的手法を避けるために、トランスバーサリティと小さな単体を用いてチェインレベルで積を定義すること。
• この構成が、既知のストリングトポロジーのスペクトル系列と同型な、適切に定義されたホモロジー級の積をもたらすことを示すこと。
• チャタール＝レ・ボーンらの結果を、この単体的かつトランスバーサリティに基づく枠組みを用いて再解釈し、再回収すること。

提案手法

• 自由ループ空間 $ LM $ を単体的集合として扱い、$ k $-単体を $ \triangle^k \times S^1 \to M $ となる滑らかな写像として定義し、評価写像 $ ev_0 $ はその単体を $ S^1 $ の基点における制限へ写す。
• 小さな単体は、与えられたアトラスの1つのチャート内に像を含むものとして定義され、局所的制御と局所係数との整合性を保証する。
• トランスバーサリティを $ LM \times LM $ の双単体に適用し、特に $ M $ の合成可能なループへ写るものを対象とすることで、チェインレベルでの交差積を定義する。
• $ LM \times_M LM $ 内のトランスバーサルなサイクルの交差により、滑らかな多様体 $ W $ が得られ、ホワイトヘッドの同型の一意性による三角形分割により、$ LM $ 内の適切に定義されたサイクルが得られる。
• ドローム同型を用いて、スペクトル系列の $ E^1 $-頁を $ M $ の交差ホモロジーとその単位法線束 $ UM $ と関連づけ、二重次数付き環同型を可能にする。
• スペクトル系列の $ E^1 $-頁が $ \mathbb{H}_*(M;\mathbb{Z}_{or}) \oplus \mathbb{H}_*(UM;\mathbb{Z})[T]_{\geq 1} $ と同型であることが示され、$ d^1 = 0 $ であるため、$ E^\infty \cong E^1 $ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャス＝サリヴァン積は、無限次元的ホモトピー論を避けて、有限次元的で単体的手段を用いて直接的にチェインレベルで定義可能か？
• RQ2 可縮構造に依存せずに、非可縮多様体へどのようにして積を拡張できるか？
• RQ3 トランスバーサリティと小さな単体が、積が適切に定義され、ホモトピー的不変性を保つために果たす役割は何か？
• RQ4 ファイブレーション $ \Lambda M \to M $ のスペクトル系列は、$ UM $ と $ M $ の交差環構造とどのように関係するか？
• RQ5 チャタールとレ・ボーンらのストリングトポロジーにおける既知の結果は、この単体的かつトランスバーサリティに基づく枠組みを用いて再回収・再解釈可能か？

主な発見

• チャス＝サリヴァン積は、$ LM \times_M LM $ 内のトランスバーサルな交差の三角形分割により、ホモロジー級で適切に定義される。ホワイトヘッドの単体分割の一意性（ホモトピー的同型と分割の細分に関して）を用いる。
• スペクトル系列の $ E^1 $-頁は $ \mathbb{H}_*(M;\mathbb{Z}_{or}) \oplus \mathbb{H}_*(UM;\mathbb{Z})[T]_{\geq 1} $ と同型であり、$ T $ の二重次数は $ (1, \alpha_1 + n - 2) $ で、ドローム同型によって誘導される環構造を持つ。
• $ d^1 $ は恒等的に 0 である。なぜなら $ \mathbb{H}_*(\Lambda_0) $ が直和成分をなしており、$ d^1 $ が導分であるため、$ d^1(T) = 0 $ であり、$ d^1 $ は常に 0 となる。
• スペクトル系列は $ E^1 $ で収束するため、$ E^\infty \cong E^1 $ であり、最終的な二重次数付き環構造は初期のものと一致する。
• この構成は、可縮・非可縮の両方の多様体に適用可能であり、方向性の問題を扱うために局所係数 $ \mathbb{Z}_{or} $ を用いる。
• この方法により、チャタールとレ・ボーンらの結果が再回収され、再解釈され、単体的かつトランスバーサリティに基づくアプローチが、具体的な幾何的計算において無限次元的手法と同等の効率性を持つことが示された。