[論文レビュー] Homology and manifolds with corners

Edmundo Castillo, Rafael Díaz|ArXiv.org|Nov 27, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体のホモロジーに対して、角を持つコンパクトな向き付け可能多様体からの写像を用いた、古典的な単体的チェインモデルが交線積をチェインレベルで定義するのを克服する、新しいチェインモデルを導入する。このモデルにより、幾何的に自然な交線積の定義が可能となり、ホモロジー的量子場理論の構築に新たな枠組みを提供する。これはストリングトポロジーおよびホモトピー的量子場理論を一般化する。

ABSTRACT

We define a model for the homology of manifolds and use it to describe the intersection product on the homology of compact oriented manifolds and to define homological quantum field theories which generalizes the notions of string topology introduced by Chas and Sullivan and homotopy quantum field theories introduced by Turaev.

研究の動機と目的

• 積や対角写像の逆像の定義域が単体的でないため、標準的な単体的チェインモデルではチェインレベルでの交線積を定義することが難しいという問題に対処する。
• 積や対角写像の逆像の定義域の三角形分割における組み合わせ的障害を、角を持つ多様体をチェイン定義域として用いることで克服する。
• コンパクトな向き付け可能多様体と角を持つ滑らかな写像に基づくホモロジー理論を構築し、特異ホモロジーと同型であることを保証する。
• この新しいチェインモデルを用いて、ストリングトポロジーおよびホモトピー的量子場理論を一般化するホモロジー的量子場理論（HLQFT）を構築する。
• 向きを保つ微分同相写像の下でのHLQFT構成のファンクター性を確立し、多様体間で一貫性を保つ。

提案手法

• チェイン複体 $ C(M) = \bigoplus_{i=0}^\flat C_i(M) $ を定義する。ここで $ C_i(M) $ は、$ K $ を角を持つコンパクトな向き付け可能多様体とし、$ c: K \to M $ を滑らかな写像とするペア $ (K, c) $ の自由ベクトル空間の商であり、向きと不交和に関する関係を含む。
• 微分 $ \partial(K, c) = \sum_{L \in \pi_0(\partial_1 K)} (\overline{L}, c|_{\overline{L}}) $ を定義する。ここで $ \partial_1 K $ は第一の境界ストラトゥムを表し、誘導された向きを用いる。
• 角を持つ多様体の直積を用いて、写像 $ c \times d: K \times L \to M \times M $ を定義し、これが新しいモデルにおける有効なチェインであることを示す。
• 横断的チェイン $ c $ と $ d $ の交線積を、$ \Delta_M $ への逆像とその射影を用いて $ c \cap d = ((c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi) $ と定義する。ここで $ \pi $ は角を持つ部分多様体への射影である。
• 関手 $ \mathrm{H}: \mathrm{Cob}_{d,r}^M \to \mathrm{vect} $ を用いて、制限されたホモロジー的量子場理論（HLQFT）を構成する。対象に対しては $ \mathrm{H}(N, f, <) = \mathrm{H}(\overline{N}) $ を、射に対しては写像空間に沿った引き戻しを用いる。
• 写像 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ が、向きを保つ微分同相写像の対称な圏を介してファンクター的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単体的定義域の三角形分割に依存せずに、幾何的にチェインレベルでの交線積を定義することは可能か？
• RQ2 角を持つ多様体に基づくホモロジー理論は、特異ホモロジーと同型であり、自然な代数的構造を備えているか？
• RQ3 このモデルを用いて、ストリングトポロジーおよびホモトピー的量子場理論を一般化するホモロジー的量子場理論を構築できるか？
• RQ4 基になる多様体の向きを保つ微分同相写像の下で、HLQFT構成のファンクター性はどのように振る舞うか？
• RQ5 角を持つ新しいチェインモデルを備えた $ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ にどのような代数的構造が現れ、既知の構造（たとえば、ねじれ付きのポアソン代数やゲルステンハーバー代数）とどのように関係するか？

主な発見

• 角を持つチェイン複体 $ C(M) $ のホモロジーは、$ M $ の特異ホモロジーと同型であり、その同型は単体を角を持つ多様体として埋め込むことによって誘導される。
• 横断的チェイン $ c $ と $ d $ の交線積は、チェインレベルで $ ((c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi) $ として適切に定義されており、逆像は角を持つ部分多様体である。
• $ d $ 次元の小さな $ d $-次元円板のオペラッド $ \mathrm{H}(D_d) $ は、$ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ に作用し、$ d $ の偶奇に応じて、$ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ が微分付きのねじれ付きポアソン代数またはゲルステンハーバー代数構造を持つという既知の結果を回復する。
• 制限されたホモロジー的量子場理論 $ \mathrm{HLQFT}_{d,r}(M) $ は関手 $ \mathrm{H} $ を用いて構成され、コボルディズムにホモロジー群を割り当て、引き戻しにより線形写像を定義する。
• 写像 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ は、コンパクトな向き付け可能多様体と向きを保つ微分同相写像の対称な圏において、関手的である。これは $ \varphi_* $ 沿いの関手の引き戻しを介して成り立つ。
• カテゴリ $ \mathrm{HLQFT}_d(M) $ は、$ \mathrm{Cob}_d^M $ からベクトル空間の圏へのモノイダル関手のカテゴリとして定義され、$ M $ 上のHLQFTの体系的枠組みを提供する。