[論文レビュー] A Note on the Convexity of $\log \det ( I + KX^{-1} )$ and its Constrained Optimization Representation

Kwang-Ki K. Kim|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、正定値錐上での $\log\det(I + KX^{-1})$ および $\log\det(K + X^{-1})$ の凸性（$K \succ 0$ のときの強い凸性）を行列代数に基づいて証明する。線形行列不等式（LMI）を用いた等価な凸最適化定式化を導入し、半正定値プログラミングを用いて、これらの関数を含む制約付き最適化問題を効率的に解けるようにする。

ABSTRACT

This note provides another proof for the {\em convexity} ({\em strict convexity}) of $\log \det ( I + KX^{-1} )$ over the positive definite cone for any given positive semidefinite matrix $K \succeq 0$ (positive definite matrix $K \succ 0$) and the {\em strictly convexity} of $\log \det (K + X^{-1})$ over the positive definite cone for any given $K \succeq 0$. Equivalent optimization representation with linear matrix inequalities (LMIs) for the functions $\log \det ( I + KX^{-1} )$ and $\log \det (K + X^{-1})$ are presented. Their optimization representations with LMI constraints can be particularly useful for some related synthetic design problems.

研究の動機と目的

• 任意の $K \succeq 0$ に対して、正定値錐上での $\log\det(I + KX^{-1})$ の凸性を確立すること。$K \succ 0$ のときの強い凸性も含む。
• 正定値錐上での $\log\det(K + X^{-1})$ の強い凸性を証明すること。
• 両関数の等価な凸最適化表現（線形行列不等式（LMI）制約付き）を導出すること。
• これらのLMI表現が、$X \succ 0$ を含む制約付き最適化問題の解法における有用性を示すこと。
• 行列式最大化または最小化問題において、$X$ に追加の構造的制約を組み込むためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 正定値錐上での $-\log\det(X)$ の既知の強い凸性を、基礎的要素として活用する。
• 関数 $\log\det(I + KX^{-1})$ を再定式化するため、スラック変数 $Z \succ 0$ を導入し、LMI制約下での $\log\det(Z^{-1})$ の最小化問題に置き換える。
• シュール補行列を用いて、不等式 $I + K^{1/2}X^{-1}K^{1/2} \preceq Z^{-1}$ をLMI $\begin{bmatrix} I - Z & K^{1/2} \\ K^{1/2} & X + K \\ \nolimits \end{bmatrix} \succeq 0$ に変換する。
• 同様のスラック変数およびシュール補行列技術を用いて、$\log\det(K + X^{-1})$ の等価なLMI表現を導出する。
• 関数 $\log\det(\cdot)$ の単調性と制約集合のコンパクト性を用いて、元のlog-det関数と導出された半正定値計画問題との等価性を確立する。
• LMI制約の線形性と $-\log\det(Z)$ の強い凸性を用いて、元の関数の凸性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K \succeq 0$ の任意の値に対して、正定値錐上での $\log\det(I + KX^{-1})$ は凸か？
• RQ2 $\log\det(I + KX^{-1})$ が強い凸性を示す条件は何か？
• RQ3 $\log\det(K + X^{-1})$ は、線形行列不等式（LMI）制約付きの凸最適化問題として表現可能か？
• RQ4 $\log\det(X^{-1})$ の凸性に依存する行列代数的手法を用いて、$\log\det(I + KX^{-1})$ の凸性をどのように証明できるか？
• RQ5 $\log\det(I + KX^{-1})$ および $\log\det(K + X^{-1})$ の等価なLMI制約付き最適化定式化は何か？

主な発見

• 任意の $K \succeq 0$ に対して、関数 $f(X) = \log\det(I + KX^{-1})$ は正定値錐 $\mathbb{S}_{++}^n$ 上で凸である。
• $K \succ 0$ のとき、関数 $f(X) = \log\det(I + KX^{-1})$ は $\mathbb{S}_{++}^n$ 上で強い凸性を示す。
• 任意の $K \succeq 0$ に対して、関数 $g(X) = \log\det(K + X^{-1})$ は $\mathbb{S}_{++}^n$ 上で強い凸性を示す。
• すべての $X \succ 0$ に対して、$\log\det(I + KX^{-1})$ は次式の半正定値計画問題の最適値に等価である：$\min_{Z \succ 0} \log\det(Z^{-1})$ かつ $\begin{bmatrix} I - Z & K^{1/2} \\ K^{1/2} & X + K \end{bmatrix} \succeq 0$。
• 同様に、$\log\det(K + X^{-1})$ は次式の最適値に等価である：$\min_{Z \succ 0} \log\det(Z^{-1})$ かつ $\begin{bmatrix} X - Z & X^{1/2}K^{1/2} \\ K^{1/2}X^{1/2} & I + K^{1/2}XK^{1/2} \end{bmatrix} \succeq 0$。
• これらのLMI表現により、$\log\det(I + KX^{-1})$ や $\log\det(K + X^{-1})$ を含む制約付き最適化問題を、追加のスラック変数を伴う標準的な半正定値計画問題に再定式化できる。