[論文レビュー] A note on the cotangent complex in derived algebraic geometry

Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、導来代数幾何の視点から見ることで、代数幾何における古典的余接複体がスキームのすべての変形理論を自然に記述することを示している。導来無限小円板 $
\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$ を導入することで、$\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ が $\mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ によって幾何的に余代表化されることを示し、導来スキームを用いてすべての次数にわたる変形理論を統一的かつ一般化する。

ABSTRACT

This note is supposed to answer some questions on deformation theory in derived algebraic geometry. We show that derived algebraic geometry allows for a geometrical interpretation of the full cotangent complex and gives a natural setting for deformation and obstruction theories.

研究の動機と目的

• 導来代数幾何の枠組みの中で再解釈することで、余接複体の幾何的役割を変形理論において明確化すること。
• 古典的代数幾何において $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ の幾何的余代表対象が存在しないという欠陥を解消すること。
• 導来代数幾何の形式的発展の前から、余接複体が導来変形のデータをすでに含んでいることを示すこと。
• 導来スキーム $\mathbf{D}_i$ を用いて、すべての $\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ 群に幾何的解釈を与えること。
• 導来余接複体 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ が、古典的スタック的余接複体が失敗する場合でも、完全な変形理論の正しい対象であることを確立すること。

提案手法

• $k[\varepsilon_i] = k \oplus k[i]$ を次数 $-i$ の生成子をもつcdgaとする導来 $i$ 階無限小円板 $\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$ を導入する。
• 点付き導来スキームのホモトピー圏 $\mathbf{dSch}_{*,k}$ を用いて、$\mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ を導来変形の空間として定義する。
• 導来Extと導来ホモロジー圏における導来ホモロジーを用いて、$\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ という自然同型を確立する。
• [HAG-II] の結果を活用し、$X$ を導来スキームとして見たとき、イルシューの余接複体が導来のものと一致することを示す。
• 同じ枠組みを高次スタックに適用し、導来余接複体 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ が完全な変形理論を制御することを示す。
• モジュライスタック $\mathbf{Vect}_n(X)$ を例に挙げ、$\mathbb{L}^{\mathrm{der}}_{\mathcal{X}} \simeq \mathrm{C}^*_{\mathrm{Zar}}(X, \mathrm{End}(E))^\vee[-1]$ が、既知の変形複体と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $i \geq 0$ に対して、古典的Ext群 $\mathrm{Ext}^i(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ を一様に幾何的に余代表化できるか？
• RQ2 $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ が古典的代数幾何において幾何的余代表スキームを持たないのはなぜで、どのようにしてこれを解決できるか？
• RQ3 導来代数幾何における余接複体の役割は何か？ そして、すべての次数にわたる変形理論をどのように統一するか？
• RQ4 モジュライスタック $\mathcal{X}$ に対して、導来余接複体 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ と古典的スタック的余接複体とはどのように異なるか？
• RQ5 与えられた $\mathcal{X}$ 上の障害理論から、導来モジュライ拡張 $\mathcal{X}^{\mathrm{der}}$ を再構成できるか？

主な発見

• 導来 $i$ 階無限小円板 $\mathbf{D}_i = \mathbb{R}\mathrm{Spec}\,k[\varepsilon_i]$ は、同型 $\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k) \simeq \mathbb{R}\mathrm{Hom}_*(\mathbf{D}_i, (X,x))$ を通じて $\mathrm{Ext}^i_k(\mathbb{L}_{X,x}, k)$ を幾何的に余代表化する。
• この同型はすべての $i \in \mathbb{N}$ に対して成り立つため、余接複体が導来圏においてすべての導来変形を一様に記述していることが示される。
• 古典的余接複体 $\mathbb{L}_X$ は、すでに導来変形のデータを含んでいるため、導来代数幾何が余接複体の中に「すでに存在していた」ことを示唆する。
• モジュライスタック $\mathbf{Vect}_n(X)$ に対して、導来余接複体は $\mathbb{L}^{\mathrm{der}}_{\mathcal{X}} \simeq \mathrm{C}^*_{\mathrm{Zar}}(X, \mathrm{End}(E))^\vee[-1]$ であり、標準的な変形複体と一致する。
• 一般には、導来余接複体 $\mathbb{L}_{\mathcal{X}^{\mathrm{der}}}$ は古典的スタック的余接複体とは異なり、振幅 $[-1, \infty)$ に有界ではない。アブラモフの定理により、古典的スタック的余接複体はその制約を受ける。
• 異なる導来拡張 $\mathcal{X}^{\mathrm{der}}$ は、$K3$ 表面への安定写像の例で見られるように、標準的と削減済みの障害理論の違いから、異なる障害理論を生じうる。