[論文レビュー] Gromov-Witten theory and Noether-Lefschetz theory

Davesh Maulik, Rahul Pandharipande|arXiv (Cornell University)|May 11, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用数 80

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体のGromov-Witten不変量とK3表面のモジュライ空間におけるNoether-Lefschetz divisorの間の深い関係を確立する。Borcherdsのtheta liftとO(2,19)格子に関するKudla-Millson理論を活用することで、次数2, 4, 6, 8のK3表面のNoether-Lefschetz次数を計算し、それらが重み21/2、レベル8のモジュラー形式のフーリエ係数であることを示している——特に四次K3表面に対して。この研究は古典的な数え上げ結果を確認し、Noether-Lefschetz divisorがモジュライ空間の有理ピカール群を生成すると予想する。

ABSTRACT

Noether-Lefschetz divisors in the moduli of K3 surfaces are the loci corresponding to Picard rank at least 2. We relate the degrees of the Noether-Lefschetz divisors in 1-parameter families of K3 surfaces to the Gromov-Witten theory of the 3-fold total space. The reduced K3 theory and the Yau-Zaslow formula play an important role. We use results of Borcherds and Kudla-Millson for O(2,19) lattices to determine the Noether-Lefschetz degrees in classical families of K3 surfaces of degrees 2, 4, 6 and 8. For the quartic K3 surfaces, the Noether-Lefschetz degrees are proven to be the Fourier coefficients of an explicitly computed modular form of weight 21/2 and level 8. The interplay with mirror symmetry is discussed. We close with a conjecture on the Picard ranks of moduli spaces of K3 surfaces.

研究の動機と目的

• 1パrameter族のK3表面におけるNoether-Lefschetz divisorの次数を、3-fold全空間のGromov-Witten不変量と関連付けること。
• モジュラー形式と格子論的技法を用いて、次数2, 4, 6, 8の古典的族のK3表面のNoether-Lefschetz次数を計算すること。
• モジュラーデータを用いて、これらの次数が古典的な数え上げ計数（例：K3面上の直線や楕円曲線の数）と一致することを確認すること。
• Noether-Lefschetz divisorが、準極小K3表面のモジュライ空間の有理ピカール群を生成すると予想すること。

提案手法

• Gopakumar-VafaのBPS状態数え上げを用いて、3-fold全空間のGromov-Witten不変量とK3纤维上の削減不変量を関連付ける。
• Borcherdsのtheta liftとO(2,19)格子に関するKudla-Millson理論を適用し、Noether-Lefschetz次数の生成関数を計算する。
• 補題7におけるホッジ項、ノード項、Castelnuovoの消失条件を用いて、モジュラー形式の構造を特定する。
• 鏡像対称性と超幾何関数の恒等式を用いて、四次K3表面に対して重み21/2、レベル8のモジュラー形式を明示的に導出する。
• 可除性mを持つ修正divisor $D_{m,h,d}$を定義し、交線論的により修正Noether-Lefschetz数$NL^{ au}_{m,h,d}$を導く。
• Bruinierの公式を用いて、Noether-Lefschetz divisorが張るピカール群の次元を計算し、重み21/2、表現$\rho_l^*$の尖点形式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1パラメータ族のK3表面におけるNoether-Lefschetz divisorの次数は、3-fold全空間のGromov-Witten不変量とどのように関係するか？
• RQ2 次数8以下の古典的族のK3表面におけるNoether-Lefschetz次数の生成関数のモジュラー構造は何か？
• RQ3 Gromov-Witten理論を用いて計算されたNoether-Lefschetz次数は、古典的な数え上げ計数（例：K3面上の直線や楕円曲線の数）と一致するか？
• RQ4 モジュライ空間$\mathcal{M}_l$の有理ピカール群は、完全にNoether-Lefschetz divisorによって生成可能か？

主な発見

• 四次K3表面に対して、Noether-Lefschetz次数は重み21/2、レベル8のモジュラー形式のフーリエ係数であり、本稿で明示的に計算されている。
• 格子$\begin{pmatrix}6&3\\3&0\end{pmatrix}$に対するNoether-Lefschetz次数は168であり、楕円的平面曲線の古典的数え上げと一致する。
• 格子$\begin{pmatrix}6&1\\1&-2\end{pmatrix}$に対するNoether-Lefschetz次数は198であり、一般の次数6 K3表面に存在する直線の数を確認している。
• 次数8のK3表面に対しては、直線を含むファイバーの数は128であり、古典的幾何学とモジュラー形式の計算結果と整合的である。
• Noether-Lefschetz divisorが張る$\mathcal{M}_l$の有理ピカール群の次元は$1 + \frac{31}{24} + \frac{31}{48}l - \cdots$として計算され、$l=2,4,6$に対してそれぞれ2, 3, 4の明示的値をとる。
• Noether-Lefschetz divisorが$\mathrm{Pic}(\mathcal{M}_l)\otimes\mathbb{Q}$を生成するとする予想は、$l=2$および$l=4$において、既知のピカール数との一致により検証された。