[論文レビュー] A Note on the Existence of the Multivariate Gamma Distribution

Thomas Royen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2016

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、関連する分散共分散行列に制限的な仮定を課さずに、すべての実数の自由度 d > ⌊(p−1)/2⌋ に対して p 変量ガンマ分布の存在を確立する。中心および非中心多変量ガンマ分布の間の関係を導出し、非整数 d が ⌊(p−1)/2⌋ を超える場合の存在を証明することで、整数 d または特定の分散共分散構造を仮定する必要があった先行研究を拡張する。

ABSTRACT

The p-variate gamma distribution in the sense of Krishnamoorthy and Parthasarathy exists for all positive integer degrees of freedom d and at least for all real values d > p-2, p > 1. For special structures of the "associated" covariance matrix it also exists for all positive d. In this paper a relation between central and non-central multivariate gamma distributions is shown, which implies the existence of the p-variate gamma distribution at least for all non-integer d greater than the integer part of (p-1)/2 without any additional assumptions for the associated covariance matrix.

研究の動機と目的

• 従来の制約を超えて多変量ガンマ分布の存在条件を解明すること。
• p 変量ガンマ分布の既知の存在領域を非整数自由度へ拡張すること。
• 分布の定義において関連する分散共分散行列に制限的な仮定を必要としないようにすること。
• 統計学および確率論における多変量ガンマ分布の広範な応用のための理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 中心および非中心多変量ガンマ分布の間の数学的関係を導出すること。
• この関係を用いて非整数自由度における存在性の性質を推論すること。
• 整数 d > p−2 および d ∈ ℕ に対する多変量ガンマ分布の既知の結果を適用すること。
• 中心および非中心形態の間の関係を活用して、d > ⌊(p−1)/2⌋ における存在性を拡張すること。
• 関連する分散共分散行列の構造を分析し、追加の仮定が不要であることを示すこと。
• 確率論および多変量分布理論の技術を用いて、最小限の条件下での存在性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d が必ずしも整数でない場合、p 変量ガンマ分布がどの d の値で存在するか。
• RQ2 関連する分散共分散行列に構造的制約を課さずに、多変量ガンマ分布の存在を確立できるか。
• RQ3 一般の場合における p 変量ガンマ分布の存在の最小下限は何か。
• RQ4 中心および非中心多変量ガンマ分布の関係は、分布の存在にどのように寄与するか。
• RQ5 整数 d に対する既存の存在結果を、分布の関係性を用いて非整数 d へ拡張できるか。

主な発見

• p > 1 のとき、すべての実数 d > p−2 に対して p 変量ガンマ分布が存在する。
• 特別な分散共分散行列構造の下では、すべての d > 0 に対して存在する。
• 分散共分散行列に追加の仮定を課さずに、すべての非整数 d > ⌊(p−1)/2⌋ に対して分布が存在する。
• 主たる結果は、d > ⌊(p−1)/2⌋ に対して分布の存在が保証されることであり、これは以前の結果を一般化する。
• 証明は、中心および非中心多変量ガンマ分布の間の導出された関係に依存する。
• この結果により、整数自由度を超えた存在領域が拡張され、分散共分散行列に対する制限的な仮定が排除される。