[論文レビュー] A note on the foundations of mechanics

Ricardo J. Alonso-Blanco, Jesús Muñoz-Díaz|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は微分幾何学を通じて古典力学を再解釈し、リーマン的構造とシンプレクティック構造の下で相対論的および電磁的力が生じることを示している。特定の幾何的制約の下で、ローレンツ場のラグランジュ中間積分に対する条件としてクライン＝ゴルドン方程式が導かれる。シンプレクティック幾何学と計量適合性を通じて、古典的および量子的力学的構造が統一される。

ABSTRACT

This short note is intended to review the foundations of mechanics, trying to present them with the greatest mathematical and conceptual clarity. It was attempted to remove most of inessential, even parasitic issues, which can hide the true nature of basic principles. The pursuit of that goal results in an improved understanding of some topics such as constrained systems, the nature of time or the relativistic forces. The Srödinger and Klein-Gordon equations appear as conditions fulfilled by certain types of classical solutions of the field equations although the meaning of quantum equations is not, even remotely, exhausted by these cases. A part of this note comes from previous works.

研究の動機と目的

• 余分な構造を除去し、幾何的明確性を強調することで、力学の基礎的原則を明確化すること。
• 制約付き系および相対論的力の再定式化を、配置多様体上の微分形式およびシンプレクティック幾何学を用いて行うこと。
• クライン＝ゴルドン方程式が、修正されたシンプレクティック形式に関するラグランジュ部分多様体の幾何的条件として生じることを示すこと。
• 量子方程式が古典的解の条件として特定されることにより、古典力学と量子場理論を統一すること。
• 電磁場（閉じた2形式として）と相対論的力との間に、ローレンツ力形式を通じて幾何的対応関係を確立すること。

提案手法

• 配置多様体 M 上に擬リーマン計量を用いて接束と余接束の間の同型を誘導し、力の幾何的定式化を可能にする。
• TM 上の第二種微分方程式を、α が仕事形式であるときのニュートン方程式 i_D ω₂ + dT + α = 0 の解として定義する。
• 相対論的運動を電磁場下で記述するため、修正されたシンプレクティック形式 ω_F = ω₂ + F₂ を導入する。
• ω_F-ラグランジュ部分多様体にハミルトン＝ジャコビ条件を適用し、ポテンシャルベクトル A に対して d(i_{u+A}T₂) = 0 の方程式が得られる。
• div(u + A) = 0 を仮定し、Ψ = e^{if/h} にラプラシアンを適用することでクライン＝ゴルドン方程式を導出する。その結果、(Δ - 2i/h A + h⁻²(m² - ||A||²))Ψ = 0 が得られる。
• ローレンツ場の途中積分が ω_F に関してラグランジュ的であるという条件を用いて、保存エネルギーおよび類似量子方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典力学の基礎を、最大限の幾何的・概念的明確性を保ちつつ再表現することは可能か？
• RQ2 クライン＝ゴルドン方程式は、古典的場理論の中で、どのような幾何的起源を持つのか？
• RQ3 速度に線形な相対論的力は、配置多様体上の閉じた2形式とどのように対応するか？
• RQ4 電磁場を伴う古典系が、ハミルトン＝ジャコビ方程式を満たすラグランジュ部分多様体を有するための条件は何か？
• RQ5 ローレンツ力およびその関連する力学的運動は、接束上のシンプレクティック構造によって完全に特徴付けられるか？

主な発見

• クライン＝ゴルドン方程式は、シンプレクティック形式 ω_F = ω₂ + F₂ に関してラグランジュ的であるローレンツ場の中間積分に対する幾何的条件として生じる。
• ローレンツ場は ω_F に関してハミルトニアンであり、その力学は方程式 i_D ω_F + dT = 0 によって支配される。
• 電流 J = u がローレンツ力の中間積分であり、div(u + A) = 0 が成り立つとき、クライン＝ゴルドン方程式が満たされる。
• 電磁場を表す2形式 F₂ は局所的に完全であり、そのポテンシャル A は d(i_A T₂) = F₂ を満たす。
• 条件 d(i_{u+A} T₂) = 0 は、局所的に i_{u+A} T₂ = df と書けることを示し、幾何的ポテンシャルと波動関数 Ψ = e^{if/h} を結びつける。
• 導出過程から、クライン＝ゴルドン方程式が単に量子方程式であるのではなく、相対論的力学の特定の解に対する古典的幾何的条件であることが明らかになる。