[論文レビュー] A note on the holonomy of connections in twisted bundles

Marco Mackaay|ArXiv.org|Jun 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体 M 上の接続付きねじれ付き主 bundle の同値類と、薄いホモトピー類を用いて定義される薄い基本カテゴリカル群 $ C_2^2(M) $ からカテゴリカルリー群 $ \mathcal{G} $ への滑らかなファンクターの間の全単射対応を確立する。この研究は、バーレットのホロノミー原理を高次ゲージ理論へ一般化し、ねじれ付き bundle のホロノミーが自然にカテゴリカル群間のファンクターとして記述されることを示す。接続は、薄いホモトピー類と経路の選択に基づくゲージ固定手続きを用いて、こうしたファンクターから再構成可能である。

ABSTRACT

Recently twisted K-theory has received much attention due to its applications in string theory and the announced result by Freed, Hopkins and Telemann relating the twisted equivariant K-theory of a compact Lie group to its Verlinde algebra. Rather than considering gerbes as separate objects, in twisted K-theory one considers a gerbe as being part of the data for a twisted vector bundle. There is also a notion of a connection in a twisted vector bundle and Kapustin has studied some aspects of the holonomy of such connections. In this note I study the holonomy of connections in twisted principal bundles and show that it can best be defined as a functor rather than a map. Even for the case which Kapustin studied the results in this paper give a more general picture.

研究の動機と目的

• 通常の接続に対するバーレットのホロノミー原理を、接続付きねじれ付き主 bundle へ一般化すること。
• 多様体 M 上の幾何的構造が、カテゴリカルリー群値のホロノミーファンクターをもたらす条件を特定すること。
• このようなファンクターが同値類としてねじれ付き主 bundle と接続を分類することを示す再構成定理を提供すること。
• gerbe を超えて、任意の正則なカテゴリカルリー群へ高次ホロノミーの枠組みを拡張すること。

提案手法

• ループおよびシリンダーの薄いホモトピー類を用いて、薄い基本カテゴリカル群 $ C_2^2(M) $ を定義する。
• ターゲット構造としてカテゴリカルリー群を用い、対象を薄いホモトピー類、射をシリンダー間の薄いホモトピー類の同値類とする。
• 中心拡大 $ 1 \to H \to E \to G \to 1 $ をモデルとして、$ C_2^2(M) $ からカテゴリカルリー群 $ \mathcal{G} $ へのホロノミーファンクター $ \mathcal{H} $ を構成する。
• 局所的な自明化における固定された経路およびホモトピーを用いて、局所的移行関数 $ e_{ij} $ と接続 $ A_i $ をホロノミーファンクターから再構成する。
• 移行関数および接続 1-形式の整合性を保つためにゲージ固定の規約を適用する。
• 再構成された bundle と接続が元のものと同値であることを証明し、全単射対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 M 上のどのような幾何的構造が、カテゴリカルリー群値のホロノミーファンクターを生じるか？
• RQ2 接続付きねじれ付き主 bundle のホロノミーは、カテゴリカル群間のファンクターとしてどのように自然に定式化できるか？
• RQ3 ホロノミーファンクターは、同値類としてねじれ付き主 bundle と接続を完全に分類できるか？
• RQ4 薄い基本カテゴリカル群 $ C_2^2(M) $ とねじれ付き bundle のホロノミーの間の関係は何か？
• RQ5 与えられたホロノミーファンクターから、bundle および接続のデータをどのように再構成できるか？

主な発見

• 多様体 $ M $ 上のねじれ付き主 $ E $-bundle と接続の同値類は、中心拡大 $ 1 \to H \to E \to G \to 1 $ から導かれるカテゴリカルリー群 $ \mathcal{G} $ への滑らかなファンクターの同値類と全単射対応する。
• 移行関数 $ e_{ij}(y) $ は、$ \mathcal{H}(c_{ij}(y)) $ の代表元を用いてホロノミーファンクターから再構成され、ゲージ固定により整合性が保証される。
• 接続 1-形式 $ A_i(v) $ は、経路に沿ったホロノミーの微分から導かれ、曲率および移行法則と整合性を持つ。
• 2-コサイクル $ h_{ijk}(y) = e_{ij}(y)e_{jk}(y)e_{ki}(y) $ は $ \pi $ の核に属し、$ H $ と同一視され、高次ゲージ理論における標準的コサイクルと一致する。
• 再構成手続きにより、得られる bundle と接続は元のものと同値であることが保証され、完全な分類が証明される。
• 2つのホロノミーファンクターが同値であるための必要十分条件は、$ G $ の元による共役であることである。これは、主 bundle の標準的ゲージ同値性を一般化する。