[論文レビュー] Lectures on Special Lagrangian Submanifolds

Nigel Hitchin|ArXiv.org|Jul 6, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 156

ひとこと要約

本稿は、3次元Calabi-Yau多様体における特殊ラグランジュ部分多様体を理解するためのgerbe理論的枠組みを構築し、Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) による鏡像対称性予想の幾何的基盤を提供する。本稿では、B-fieldgerbeの平坦な自明化を備えた特殊ラグランジュトーリーのモジュライ空間としてSYZ鏡像を構成し、元の空間と鏡像空間の間でLegendre変換双対性を用いて、得られる計量構造がKählerであることを示している。

ABSTRACT

These notes consist of a study of special Lagrangian submanifolds of Calabi-Yau manifolds and their moduli spaces. The particular case of three dimensions, important in string theory, allows us to introduce the notion of gerbes. These offer an appropriate language for describing many significant features of the Strominger-Yau-Zaslow approach to mirror symmetry.

研究の動機と目的

• 3次元Calabi-Yau多様体における特殊ラグランジュ部分多様体を記述するため、gerbeを用いた幾何的枠組みを提供すること。
• Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) 鏡像対称性プログラムにおけるB-fieldの役割を明確化すること。
• 特殊ラグランジュトーリーとgerbeの平坦な自明化を備えたものをモジュライ空間としてSYZ鏡像を定義すること。
• 元の空間と鏡像空間の計量構造の間の双対性をLegendre変換を用いて確立すること。

提案手法

• 円周群への値をとるČechコサイクルを用いてgerbeを定義し、$H^3(X,\mathbf{Z})$のコhomology類を捕捉する。
• 特殊ラグランジュトーリーのファイバー上で、ホロノミーが自明な平坦gerbeとしてB-fieldをモデル化する。
• SYZ鏡像$\check{Z}$を、$M$が特殊ラグランジュトーリーで$T$が$M$上のgerbeの平坦な自明化であるペア$(M,T)$のモジュライ空間として構成する。
• 元のモジュライ空間$\mathcal{B}$からのベース計量とファイバー上の双対トーリー計量を組み合わせることで、$\check{Z}$上に計量を定義する。
• Legendre変換を適用し、$\check{Z}$上の計量が、元のポテンシャル$\phi$の双対である$\check{\phi}$を用いてKählerであることを示す。
• Gauss-Manin接続を用いて、$\check{Z}$の接束を水平成分と垂直成分に分解し、Kähler計量の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gerbeは、3次元Calabi-Yau多様体における特殊ラグランジュ部分多様体の文脈で、B-fieldをどのように記述できるか？
• RQ2 非自明なB-fieldが存在する際、SYZ鏡像の正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 特殊ラグランジュトーリーのファイバー上でのgerbeの平坦性が、鏡像多様体の構成にどのように影響するか？
• RQ4 元の空間と鏡像空間のポテンシャル関数の双対性を用いて、鏡像多様体上の計量がKählerであることを示せるか？
• RQ5 Gauss-Manin接続は、鏡像空間の接束の分解を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• B-fieldを伴うCalabi-Yau多様体のSYZ鏡像$\check{Z}$は、$M$が特殊ラグランジュトーリーで$T$が$M$上のgerbe${\bf B}$の平坦な自明化であるペア$(M,T)$のモジュライ空間として構成される。
• B-fieldが自明な場合、この構成は標準的なフレームワークと整合し、元のSYZ鏡像を回復する。
• 任意の特殊ラグランジュトーリーのファイバーへのB-fieldの制限は、ホロノミーが自明であり、これにより鏡像モジュライ空間を定義する平坦な自明化が可能になる。
• $\check{Z}$上の計量がKählerであることが示され、Kählerポテンシャル$\check{\phi}$は元のポテンシャル$\phi$とLegendre変換によって関係づけられる。
• 接空間の分解$T{\check{Z}} \cong H^1(M,\mathbf{R}) \otimes \mathbf{C}$は自然にほぼ複素構造を生じさせ、計量は$\check{g} = \sum_{ij} \frac{\partial^2 \check{\phi}}{\partial \xi_i \partial \xi_j} (d\xi_i d\xi_j + d\eta_i d\eta_j)$の形を取り、Kähler性が裏付けられる。
• Legendre変換によって媒介される元の空間と鏡像空間の計量構造の双対性は、$Z$と$\check{Z}$の計量構造の間の深いつながりを示しており、両者とも高次元の対称性のため真のコン pact Calabi-Yau計量ではないが、その対称性は顕著である。