[論文レビュー] A note on the joint measurability of POVMs and its implications for contextuality

Ravi Kunjwal|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

EEG and Brain-Computer Interfaces参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正の作用素値測定（POVM）の同時測定可能性と量子力学におけるコンテキスチュアルリティの論理的関係を明確にしている。2つのPOVMが同時に測定可能であっても3つが同時に測定可能でない場合にコンテキスチュアルリティが生じることを示しており、POVMにおける同時測定の非一意性が、PVMでは不可能なコンテキスチュアルリティを可能にしていることを強調している。

ABSTRACT

The purpose of this note is to clarify the logical relationship between joint measurability and contextuality for quantum observables in view of recent developments [1-4].

研究の動機と目的

• POVMの同時測定可能性と量子理論におけるコンテキスチュアルリティの論理的関係を明確にすること。
• 最近の文献における、POVMの同時測定構造においてコンテキスチュアルリティが示せるかどうかという曖昧さを解消すること。
• 3つのPOVMが2つずつは同時に測定可能であっても3つ同時に測定可能でない場合でも、コンテキスチュアルリティが可能であることを示すこと。
• POVMにおいて2つずつの可換性が全体の可換性を意味しないことの失敗が、PVMを超えたコンテキスチュアルリティにとって本質的であることを確立すること。
• 量子理論が二値POVMを用いて任意の同時測定可能性構造を実現できることを示し、PVMのみでは実現できない新しいコンテキスチュアルリティのシナリオを可能にすること。

提案手法

• 1つのPOVMがPVMでないものが高々1つであるようなPOVMの集合に対して、同時測定可能性が2項の可換性と同値であり、その同時POVMが個々の演算子の積として一意に定まることを証明する。
• 同時POVMの構造を用いて、PVMでは2項の可換性が全体の同時測定可能性を意味することを示し、これは同時測定の一意性に起因する。
• 1 qubitにおける3設定のシナリオを、可視性パラメータηでパrameter化した三つ測定（trine measurements）を用いて、同時測定可能性とコンテキスチュアルリティを分析する。
• 量子力学的LWS不等式の違反をηの関数として導出し、$ R_{3}^{Q} = rac{1}{2} + rac{ heta^2}{4} + rac{1}{2}ig(1 - 2 heta^2 + rac{ heta^4}{4}ig)^{1/2} $ を用い、最大違反時には$ heta = rac{2}{3} $ となる。
• 2つの状態を比較：'強い'（η > 2/3、3重同時測定不可）と'弱い'（η ≤ 2/3、3重同時測定可能）、制約を緩和することで量子力学的違反が0.0336から0.0896に増加することを示す。
• LSW不等式の違反によるコンテキスチュアルリティは、'弱い'条件（2重同時測定は存在するが3重同時測定は存在しない）を必要とし、このフレームワークにおけるコンテキスチュアルリティの必要条件であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つのPOVMが2つずつは同時に測定可能であっても3つ同時に測定可能でないような同時測定構造において、コンテキスチュアルリティを示すことは可能か？
• RQ2 POVMの同時測定における非一意性が、PVMでは不可能なコンテキスチュアルリティを可能にする役割は何か？
• RQ3 2重同時測定の存在がコンテキスチュアルリティを十分に保証するのか、それとも全体の同時測定不能性の失敗が必須なのか？
• RQ4 任意の同時測定可能性構造をPOVMを用いて量子理論で実現できるか。その場合、コンテキスチュアルリティに与える影響は何か？
• RQ5 可視性（η）の制約を緩和すると、3設定のコンテキスチュアルリティシナリオにおけるLSW不等式の最大量子違反にどのような影響を与えるか？

主な発見

• PVMでは、同時測定可能性は2項の可換性と同値であり、同時に測定は一意に定まるため、コンテキスチュアルリティの可能性が制限される。
• POVMでは、2項の可換性が全体の同時測定可能性を意味しないため、PVMでは示せないコンテキスチュアルリティのシナリオが可能になる。
• LSW不等式の最大量子違反は、'強い'条件（η → 2/3）では0.0336から'弱い'条件（η ≈ 0.4566）に至るまで0.0896に増加する。
• 三つ測定における量子確率的反相関は、$ R_{3}^{Q} = rac{1}{2} + rac{ heta^2}{4} + rac{1}{2}ig(1 - 2 heta^2 + rac{ heta^4}{4}ig)^{1/2} $ で与えられ、FyuOh（2014）の境界と一致する。
• '弱い'条件（2重同時測定は存在するが3重同時測定は存在しない）はコンテキスチュアルリティに必須だが、十分ではない。なぜなら、この条件を満たす一部の構成はLSW不等式を違反しないからである。
• N個の観測量の任意の同時測定可能性構造は、量子理論において二値POVMを用いて実現可能であり、PVMのみでは実現できないコンテキスチュアルリティのシナリオを可能にする。